Номер 4.131, страница 103 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Автоколебания - номер 4.131, страница 103.

Условие.

4.131*. Брусок массой $\text{m}$ совершает колебания под действием пружины. Всякий раз, когда пружина не деформирована, а брусок движется влево, его подталкивают, увеличивая кинетическую энергию на $ΔE$ (рис. 4.40). При этом расстояние между крайним левым и крайним правым положениями бруска остаётся неизменным. Определите это расстояние. Коэффициент трения бруска о горизонтальную поверхность равен $μ$.

Рис. 4.40

Решение.

Дано:

Масса бруска: $\text{m}$

Увеличение кинетической энергии за один толчок: $ΔE$

Коэффициент трения бруска о поверхность: $μ$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

Расстояние между крайним левым и крайним правым положениями бруска: $\text{L}$

Решение:

Согласно условию задачи, расстояние между крайними левым и крайним правым положениями бруска $\text{L}$ остается неизменным. Это означает, что колебания являются установившимися. Для поддержания стационарного режима колебаний необходимо, чтобы энергия, сообщаемая системе за один полный период, была равна энергии, теряемой за этот же период из-за работы сил трения.

За один полный цикл колебаний брусок один раз проходит положение равновесия, двигаясь влево, и в этот момент его кинетическая энергия увеличивается на $ΔE$. Таким образом, энергия, получаемая системой за один период, равна $E_{пост} = ΔE$.

Энергия теряется за счет работы силы трения. Сила трения скольжения, действующая на брусок, постоянна по модулю и равна:

$F_{тр} = μN = μmg$

где $\text{N}$ – сила нормальной реакции, равная силе тяжести $\text{mg}$ при движении по горизонтальной поверхности.

За один полный период колебаний брусок проходит путь $\text{S}$, равный двум расстояниям между крайними положениями: от крайнего правого до крайнего левого ($\text{L}$) и обратно ($\text{L}$). Таким образом, $S = 2L$.

Работа силы трения за один период является отрицательной, так как сила трения всегда направлена против движения. Энергия, теряемая системой (диссипация энергии), равна модулю работы силы трения:

$E_{пот} = |A_{тр}| = F_{тр} \cdot S = (μmg) \cdot (2L) = 2μmgL$

Приравниваем полученную и потерянную энергию за один период, согласно условию стационарности колебаний:

$E_{пост} = E_{пот}$

$ΔE = 2μmgL$

Из этого уравнения выражаем искомое расстояние $\text{L}$:

$L = \frac{ΔE}{2μmg}$

Ответ:

Расстояние между крайним левым и крайним правым положениями бруска равно $L = \frac{ΔE}{2μmg}$.