Номер 4.132, страница 104 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Автоколебания - номер 4.132, страница 104.

Условие.

4.132. «Бездонный сосуд Данаид» (рис. 4.41). «Вечно носят они воду, черпая её в подземной реке, и выливают в сосуд. Вот, кажется, уже полон сосуд, но вытекает из него вода, и снова он пуст».

а) Выделите основные элементы колебательной системы и объясните принцип действия. Будет ли эта колебательная система автоколебательной?

б) Нарисуйте график зависимости уровня воды в сосуде от времени, считая, что скорость воды в струе постоянна.

Рис. 4.41

Решение.

а) Рассматриваемая система является классическим примером автоколебательной системы, известной как «сосуд Тантала» или релаксационный осциллятор.

Основные элементы этой колебательной системы:

1. Источник энергии: постоянная струя воды, вливающаяся в сосуд. Этот источник является непериодическим и обеспечивает приток энергии, необходимой для поддержания колебаний.

2. Колебательная система: вода в сосуде. Колеблющейся величиной является уровень воды $\text{h}$ в сосуде.

3. Клапан (устройство обратной связи): трубка-сифон. Этот элемент регулирует сброс энергии (и массы) из системы. Он срабатывает (начинает сливать воду) и отключается (прекращает слив) в зависимости от состояния самой колебательной системы, а именно от уровня воды $\text{h}$.

Принцип действия системы следующий:

- Вода с постоянной скоростью поступает в сосуд, и уровень воды $\text{h}$ начинает расти.

- Когда уровень воды достигает высоты верхнего изгиба сифона $h_2$, сифон заполняется водой и начинает работать, выливая воду из сосуда. Для возникновения колебаний необходимо, чтобы скорость вытекания воды через сифон была больше скорости ее поступления в сосуд.

- Поскольку вода вытекает быстрее, чем поступает, уровень воды в сосуде начинает понижаться.

- Сифон прекращает работать, когда уровень воды опускается до высоты входного отверстия сифона $h_1$. В этот момент в трубку попадает воздух, водяной столб разрывается, и слив прекращается.

- После этого процесс повторяется: сосуд снова начинает наполняться до уровня $h_2$.

Эта система является автоколебательной, так как она сама управляет процессом поступления и расходования энергии от постоянного (неколебательного) источника. Колебания поддерживаются за счет наличия обратной связи: состояние системы (уровень воды) определяет, будет ли клапан (сифон) открыт или закрыт.

Ответ: Основные элементы: источник энергии (струя воды), колебательная система (вода в сосуде), клапан (трубка-сифон). Принцип действия основан на циклическом наполнении сосуда до уровня $h_2$ (когда сифон включается) и опорожнении до уровня $h_1$ (когда сифон выключается). Система является автоколебательной, так как она сама регулирует процесс слива воды, черпая энергию от постоянного источника.

б) График зависимости уровня воды в сосуде $\text{h}$ от времени $\text{t}$ будет иметь периодический, но не синусоидальный характер.

1. Фаза наполнения (от $h_1$ до $h_2$): Вода поступает с постоянной объемной скоростью. Поскольку сосуд расширяется кверху, его площадь поперечного сечения $A(h)$ увеличивается с высотой. Скорость подъема уровня воды, равная $v_{подъема} = Q_{втекания}/A(h)$, будет уменьшаться по мере наполнения сосуда. Поэтому на графике этот участок будет представлять собой кривую, обращенную выпуклостью вверх (вогнутая кривая).

2. Фаза опорожнения (от $h_2$ до $h_1$): Сифон работает, и вода вытекает быстрее, чем втекает. Скорость вытекания через сифон зависит от высоты столба воды и максимальна при уровне $h_2$. По мере понижения уровня скорость вытекания уменьшается. Кроме того, площадь сечения сосуда также уменьшается. В результате скорость падения уровня воды максимальна в начале слива и уменьшается к его концу. На графике этот участок будет кривой, обращенной выпуклостью вниз (выпуклая кривая). Так как скорость вытекания больше скорости втекания, процесс опорожнения будет занимать меньше времени, чем процесс наполнения.

График зависимости уровня воды от времени показан на рисунке ниже.

Ответ: График представляет собой периодическую последовательность медленно нарастающих (выпуклостью вверх) участков наполнения сосуда от уровня $h_1$ до $h_2$ и быстро спадающих (выпуклостью вниз) участков опорожнения от $h_2$ до $h_1$.