Номер 4.126, страница 102 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Вынужденные колебания - номер 4.126, страница 102.

Условие.

4.126. На рисунке 4.36 представлена резонансная кривая нитяного маятника. При какой циклической частоте наблюдается резонанс? Какова длина маятника?

Рис. 4.36

Решение.

Дано:

Из графика резонансной кривой (Рис. 4.36):

Резонансная частота $ν_{рез} = 5$ Гц

Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

Резонансная циклическая частота $ω_{рез}$ - ?

Длина маятника $\text{l}$ - ?

Решение:

При какой циклической частоте наблюдается резонанс?

Резонанс — это явление, при котором амплитуда вынужденных колебаний достигает максимального значения. Из представленного графика видно, что пик амплитуды приходится на частоту $ν_{рез} = 5$ Гц.

Циклическая (или угловая) частота $ω$ связана с линейной частотой $ν$ соотношением:

$ω = 2πν$

Следовательно, резонансная циклическая частота равна:

$ω_{рез} = 2πν_{рез} = 2π \cdot 5 = 10π$ рад/с.

Приблизительное значение: $ω_{рез} \approx 10 \cdot 3.14 = 31.4$ рад/с.

Ответ: Резонанс наблюдается при циклической частоте $10π$ рад/с (приблизительно 31.4 рад/с).

Какова длина маятника?

При резонансе частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой колебаний маятника ($ω_{рез} = ω_0$). Собственная циклическая частота $ω_0$ нитяного маятника определяется по формуле Томсона:

$ω_0 = \sqrt{\frac{g}{l}}$

где $\text{g}$ — ускорение свободного падения, а $\text{l}$ — длина маятника.

Приравняем резонансную частоту к собственной частоте маятника:

$ω_{рез} = \sqrt{\frac{g}{l}}$

Чтобы найти длину $\text{l}$, возведем обе части уравнения в квадрат и выразим $\text{l}$:

$ω_{рез}^2 = \frac{g}{l}$

$l = \frac{g}{ω_{рез}^2}$

Подставим числовые значения:

$l = \frac{9.8 \text{ м/с²}}{(10π \text{ рад/с})^2} = \frac{9.8}{100π^2}$ м.

Так как $π^2 \approx 9.87$, то:

$l \approx \frac{9.8}{100 \cdot 9.87} = \frac{9.8}{987} \approx 0.0099$ м.

Округляя, получаем $l \approx 0.01$ м.

Ответ: Длина маятника составляет 0.01 м или 1 см.