Номер 4.120, страница 101 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Вынужденные колебания - номер 4.120, страница 101.

Условие.

4.120. Груз массой 100 г подвешен на пружине жёсткостью 40 Н/м. К грузу приложена в вертикальном направлении внешняя сила, проекция которой на вертикальное направление изменяется с течением времени по закону $f_x = 1.2 \cos \pi t$ (Н). Определите:

а) с какой частотой колеблется груз;

б) какой $x_m$, мм должна быть циклическая частота внешней силы, чтобы амплитуда колебаний груза была наибольшей.

Решение.

Дано:

$m = 100 \text{ г}$

$k = 40 \text{ Н/м}$

$f_x = 1,2\cos(\pi t) \text{ (Н)}$

$m = 100 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0,1 \text{ кг}$

Найти:

а) $\nu$ - ?

б) $\omega_{res}$ - ?

Решение:

а) с какой частотой колеблется груз;

Груз совершает вынужденные колебания под действием внешней периодической силы. Частота установившихся вынужденных колебаний равна частоте вынуждающей силы.

Уравнение внешней силы дано в виде $f_x = 1,2\cos(\pi t)$. Общий вид уравнения гармонической силы $f_x = F_0 \cos(\omega t)$, где $\omega$ - циклическая частота.

Сравнивая два выражения, находим циклическую частоту вынуждающей силы и, следовательно, циклическую частоту колебаний груза:

$\omega = \pi \text{ рад/с}$.

Линейная частота колебаний $\nu$ связана с циклической частотой $\omega$ соотношением $\omega = 2\pi\nu$.

Отсюда выражаем и вычисляем искомую частоту:

$\nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{\pi}{2\pi} = 0,5 \text{ Гц}$.

Ответ: груз колеблется с частотой 0,5 Гц.

б) какой должна быть циклическая частота внешней силы, чтобы амплитуда колебаний груза была наибольшей.

Наибольшая амплитуда колебаний груза достигается при явлении резонанса. Резонанс наступает, когда частота вынуждающей силы $\omega$ совпадает с собственной частотой колебаний системы $\omega_0$.

Собственная циклическая частота колебаний пружинного маятника (груза на пружине) находится по формуле:

$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$

Подставим данные из условия в систему СИ:

$\omega_0 = \sqrt{\frac{40 \text{ Н/м}}{0,1 \text{ кг}}} = \sqrt{400 \text{ с}^{-2}} = 20 \text{ рад/с}$.

Таким образом, для достижения максимальной амплитуды циклическая частота внешней силы должна быть равна собственной циклической частоте системы, то есть $\omega_{res} = \omega_0$.

Ответ: циклическая частота внешней силы должна быть 20 рад/с.