Номер 4.115, страница 101 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Колебательные системы - номер 4.115, страница 101.

Условие.

4.115. Амплитуда колебаний математического маятника за 1 мин уменьшилась в 2 раза. Во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний за время, равное 3 мин?

Решение.

Дано:

$t_1 = 1 \text{ мин}$

$A_0/A(t_1) = 2$

$t_2 = 3 \text{ мин}$

Перевод в систему СИ:

$t_1 = 1 \cdot 60 = 60 \text{ с}$

$t_2 = 3 \cdot 60 = 180 \text{ с}$

Найти:

$A_0/A(t_2)$

Решение:

Амплитуда затухающих колебаний изменяется со временем по экспоненциальному закону:

$A(t) = A_0 e^{-\beta t}$

где $A_0$ – начальная амплитуда, $A(t)$ – амплитуда в момент времени $\text{t}$, а $\beta$ – коэффициент затухания.

Из условия задачи известно, что за время $t_1 = 1$ мин амплитуда уменьшилась в 2 раза. Это означает, что $A(t_1) = A_0/2$.

Подставим это в основную формулу:

$A_0/2 = A_0 e^{-\beta t_1}$

Сократив $A_0$ с обеих сторон, получим:

$1/2 = e^{-\beta t_1}$

Отсюда следует, что $e^{\beta t_1} = 2$.

Нам необходимо найти, во сколько раз уменьшится амплитуда за время $t_2 = 3$ мин, то есть найти отношение $A_0/A(t_2)$.

Запишем выражение для амплитуды в момент времени $t_2$:

$A(t_2) = A_0 e^{-\beta t_2}$

Найдем искомое отношение:

$A_0/A(t_2) = A_0 / (A_0 e^{-\beta t_2}) = 1 / e^{-\beta t_2} = e^{\beta t_2}$

Заметим, что $t_2 = 3 \text{ мин} = 3 \cdot (1 \text{ мин}) = 3 \cdot t_1$.

Подставим это в выражение для отношения амплитуд:

$A_0/A(t_2) = e^{\beta (3t_1)} = (e^{\beta t_1})^3$

Так как мы уже нашли, что $e^{\beta t_1} = 2$, подставим это значение:

$A_0/A(t_2) = 2^3 = 8$

Следовательно, за 3 минуты амплитуда колебаний уменьшится в 8 раз. Можно было решить задачу и без формул: если за каждую минуту амплитуда уменьшается в 2 раза, то за 3 минуты она уменьшится в $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ раз.

Ответ: амплитуда колебаний уменьшится в 8 раз.