Номер 4.112, страница 100 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Колебательные системы - номер 4.112, страница 100.

Условие.

4.112** Определите наибольшую амплитуду гармонических колебаний системы (рис. 4.31), при которой бруски будут совершать колебания по горизонтальной плоскости без проскальзывания относительно друг друга. Коэффициент трения между брусками равен $\mu$. В положении равновесия пружины не деформированы. Трение между нижним бруском и плоскостью отсутствует. Массами пружин можно пренебречь.

Рис. 4.31

Решение.

Дано:

Масса верхнего бруска: $m_1 = 2m$

Масса нижнего бруска: $m_2 = m$

Жесткости пружин: $k_1$ и $k_2$

Коэффициент трения между брусками: $\mu$

Найти:

Наибольшую амплитуду колебаний $A_{max}$

Решение:

Пока бруски движутся без проскальзывания, их можно рассматривать как единое целое. Общая масса системы $M = m_1 + m_2 = 2m + m = 3m$.

Обе пружины действуют на систему. Поскольку они прикреплены к противоположным сторонам системы и растягиваются/сжимаются одновременно при смещении, их можно рассматривать как соединенные параллельно. Общая (эффективная) жесткость системы пружин равна $k_{eff} = k_1 + k_2$.

При смещении системы на расстояние $\text{x}$ от положения равновесия, на нее действует возвращающая сила:

$F_{возвр} = -k_{eff}x = -(k_1 + k_2)x$

Согласно второму закону Ньютона, $F = Ma$. Тогда уравнение движения системы имеет вид:

$(3m)a = -(k_1 + k_2)x$

Это уравнение описывает гармонические колебания. Ускорение $\text{a}$ связано с циклической частотой $\omega$ и смещением $\text{x}$ как $a = -\omega^2 x$. Сравнивая это с полученным уравнением движения, находим квадрат циклической частоты:

$\omega^2 = \frac{k_1 + k_2}{3m}$

Максимальное ускорение при гармонических колебаниях достигается в крайних точках, где смещение равно амплитуде $\text{A}$, и его величина равна:

$a_{max} = \omega^2 A$

Теперь рассмотрим условие отсутствия проскальзывания между брусками. Ускорение верхнему бруску массой $\text{2m}$ сообщает сила трения покоя $F_{тр}$, действующая на него со стороны нижнего бруска. По второму закону Ньютона для верхнего бруска:

$F_{тр} = m_1 a = 2ma$

Проскальзывание не произойдет, пока сила трения покоя не превысит своего максимального значения $F_{тр, max}$.

$F_{тр} \le F_{тр, max}$

Максимальная сила трения покоя определяется как $F_{тр, max} = \mu N$, где $\text{N}$ — сила нормальной реакции, действующая на верхний брусок. Она равна силе тяжести верхнего бруска: $N = m_1 g = 2mg$.

Таким образом, $F_{тр, max} = \mu(2mg)$.

Подставляя это в условие отсутствия проскальзывания, получаем:

$2ma \le 2\mu mg$

Отсюда следует, что ускорение системы не должно превышать значения $\mu g$:

$a \le \mu g$

Наибольшая амплитуда колебаний $A_{max}$ будет соответствовать максимальному возможному ускорению $a_{max} = \mu g$.

Приравняем два выражения для $a_{max}$:

$\omega^2 A_{max} = \mu g$

Подставим найденное ранее выражение для $\omega^2$:

$\frac{k_1 + k_2}{3m} A_{max} = \mu g$

Отсюда находим искомую наибольшую амплитуду:

$A_{max} = \frac{3m \mu g}{k_1 + k_2}$

Ответ: $A_{max} = \frac{3\mu m g}{k_1 + k_2}$