Номер 4.105, страница 99 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Колебательные системы - номер 4.105, страница 99.

Условие.

4.105*. Получите выражение для периода малых колебаний однородного стержня длиной $\text{l}$ (рис. 4.27).

Рис. 4.27

Решение.

Дано:

Однородный стержень

Длина стержня: $\text{l}$

Масса стержня: $\text{m}$

Найти:

Период малых колебаний $\text{T}$

Решение:

Однородный стержень, подвешенный за один конец и совершающий колебания в поле силы тяжести, представляет собой физический маятник. Период малых колебаний физического маятника определяется по формуле:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}$

где $\text{I}$ — момент инерции тела относительно оси вращения (в данном случае оси, проходящей через точку подвеса перпендикулярно стержню), $\text{m}$ — масса тела, $\text{g}$ — ускорение свободного падения, $\text{d}$ — расстояние от оси вращения до центра масс тела.

Момент инерции однородного стержня длиной $\text{l}$ и массой $\text{m}$ относительно оси, проходящей через его конец перпендикулярно стержню, равен:

$I = \frac{1}{3}ml^2$

Поскольку стержень однородный, его центр масс находится в его геометрическом центре. Таким образом, расстояние от точки подвеса до центра масс равно половине длины стержня:

$d = \frac{l}{2}$

Теперь подставим выражения для $\text{I}$ и $\text{d}$ в общую формулу для периода колебаний физического маятника:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{1}{3}ml^2}{mg\frac{l}{2}}}$

Упростим выражение под корнем. Сократим массу $\text{m}$ и одну степень длины $\text{l}$:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{1}{3}l}{\frac{1}{2}g}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{3} \cdot \frac{2}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{2l}{3g}}$

Ответ: Выражение для периода малых колебаний однородного стержня: $T = 2\pi \sqrt{\frac{2l}{3g}}$.