Номер 4.101, страница 98 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Колебательные системы - номер 4.101, страница 98.

Условие.

4.101*. Небольшое тело скользит по поверхности чаши, радиус кривизны которой $\text{R}$ (рис. 4.24). Определите период малых ($\alpha$ — мал) колебаний тела. Трением пренебречь.

Рис. 4.24

Решение.

Дано:

Радиус кривизны чаши: $\text{R}$

Угол отклонения $\alpha$ — мал.

Трение отсутствует.

Найти:

Период малых колебаний тела: $\text{T}$

Решение:

На тело, скользящее по поверхности чаши, действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно поверхности чаши (по радиусу к центру кривизны).

Запишем второй закон Ньютона для тела в проекции на касательное к траектории направление. Ось направим по касательной в сторону увеличения угла $\alpha$.

$ma_{\tau} = F_{\tau}$

где $a_{\tau}$ — тангенциальное ускорение, а $F_{\tau}$ — проекция равнодействующей силы на касательное направление.

Сила нормальной реакции $\vec{N}$ перпендикулярна касательной, поэтому её проекция на это направление равна нулю. Сила тяжести $m\vec{g}$ имеет составляющую, направленную по касательной к положению равновесия. Эта составляющая является возвращающей силой и равна:

$F_{\tau} = -mg \sin(\alpha)$

Знак «минус» указывает на то, что проекция силы на выбранное направление отрицательна, то есть сила направлена в сторону, противоположную отклонению от положения равновесия.

Тангенциальное ускорение $a_{\tau}$ можно выразить через вторую производную от дуговой координаты $s = R\alpha$:

$a_{\tau} = \frac{d^2s}{dt^2} = R \frac{d^2\alpha}{dt^2}$

Подставим выражения для силы и ускорения во второй закон Ньютона:

$mR \frac{d^2\alpha}{dt^2} = -mg \sin(\alpha)$

Сократив массу $\text{m}$, получим дифференциальное уравнение колебаний:

$\frac{d^2\alpha}{dt^2} + \frac{g}{R} \sin(\alpha) = 0$

По условию задачи, колебания являются малыми, то есть угол отклонения $\alpha$ мал. Для малых углов, выраженных в радианах, справедливо приближение $\sin(\alpha) \approx \alpha$. Тогда уравнение принимает вид:

$\frac{d^2\alpha}{dt^2} + \frac{g}{R} \alpha = 0$

Это стандартное дифференциальное уравнение гармонических колебаний вида $\ddot{x} + \omega^2 x = 0$, где $\omega$ — циклическая (круговая) частота колебаний.

Сравнивая два уравнения, находим квадрат циклической частоты:

$\omega^2 = \frac{g}{R}$

Отсюда циклическая частота равна:

$\omega = \sqrt{\frac{g}{R}}$

Период колебаний $\text{T}$ связан с циклической частотой соотношением $T = \frac{2\pi}{\omega}$. Подставив найденное значение $\omega$, получим формулу для периода малых колебаний тела в чаше:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$

Ответ: $T = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$.