Номер 4.108, страница 99 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Колебательные системы - номер 4.108, страница 99.

Условие.

4.108*. Цилиндр массой 10 кг и площадью основания 0,01 м² свободно плавает в воде. Его погрузили ниже положения равновесия и отпустили. Определите период свободных колебаний цилиндра. Сопротивлением среды пренебречь.

Решение.

Дано:

$m = 10 \text{ кг}$

$S = 0.01 \text{ м}^2$

$\rho = 1000 \text{ кг/м}^3 \text{ (плотность воды)}$

$g \approx 9.8 \text{ м/с}^2 \text{ (ускорение свободного падения)}$

Найти:

$\text{T}$

Решение:

Когда цилиндр находится в положении равновесия, плавая на поверхности воды, на него действуют две силы: сила тяжести $F_g$, направленная вниз, и выталкивающая сила Архимеда $F_A$, направленная вверх. В равновесии эти силы равны по модулю:

$F_g = F_{A,eq}$

$mg = \rho g V_{sub,eq}$

где $\text{m}$ – масса цилиндра, $\rho$ – плотность воды, $\text{g}$ – ускорение свободного падения, а $V_{sub,eq}$ – объем погруженной части цилиндра в состоянии равновесия.

Если сместить цилиндр из положения равновесия вертикально вниз на небольшое расстояние $\text{x}$, то объем погруженной части увеличится на величину $\Delta V = S \cdot x$, где $\text{S}$ – площадь основания цилиндра. Это приведет к увеличению выталкивающей силы на величину $\Delta F_A$.

$\Delta F_A = \rho g \Delta V = \rho g S x$

Эта добавочная сила направлена вверх, т.е. в сторону, противоположную смещению $\text{x}$. Она является возвращающей силой, которая стремится вернуть цилиндр в положение равновесия. Согласно второму закону Ньютона, уравнение движения цилиндра примет вид:

$ma = F_{возвр}$

Так как возвращающая сила направлена против смещения, ее проекция на ось, направленную вниз, будет отрицательной:

$m\ddot{x} = -\Delta F_A = -(\rho g S)x$

Это уравнение описывает гармонические колебания. Общий вид уравнения гармонических колебаний: $m\ddot{x} = -kx$, где $\text{k}$ – коэффициент жесткости системы.

Сравнивая два уравнения, находим эффективный коэффициент жесткости для нашей системы:

$k = \rho g S$

Период свободных гармонических колебаний $\text{T}$ вычисляется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Подставим в эту формулу выражение для $\text{k}$:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{\rho g S}}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{10 \text{ кг}}{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 0.01 \text{ м}^2}}$

$T = 2\pi\sqrt{\frac{10}{98}} \text{ с} = 2\pi\sqrt{\frac{5}{49}} \text{ с} = 2\pi\frac{\sqrt{5}}{7} \text{ с}$

$T \approx 2 \cdot 3.1416 \cdot \frac{2.236}{7} \approx 2.007 \text{ с}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем $T \approx 2.0 \text{ с}$.

Ответ: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{\rho g S}} \approx 2.0 \text{ с}$.