Номер 4.114, страница 101 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Колебательные системы - номер 4.114, страница 101.

Условие.

4.114*. Груз массой 200 г на пружи-не жёсткостью 100 Н/м совершает коле-бания, график которых представлен на рисунке 4.33. Почему уменьшается амплитуда колебаний? Какова энергия колебательной системы в начальный момент времени? Через какое время энергия маятника уменьшится в 4 раза?

Рис. 4.33

Решение.

Почему уменьшается амплитуда колебаний?

Представленный на рисунке график соответствует затухающим колебаниям. Амплитуда колебаний уменьшается со временем из-за наличия сил сопротивления (например, силы трения о воздух). Эти силы совершают отрицательную работу, в результате чего полная механическая энергия колебательной системы постепенно переходит во внутреннюю энергию (теплоту), что и приводит к уменьшению амплитуды.

Ответ: Амплитуда колебаний уменьшается из-за потерь механической энергии на преодоление сил сопротивления среды.

Какова энергия колебательной системы в начальный момент времени?

Дано

$m = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$

$k = 100 \text{ Н/м}$

Из графика: начальная амплитуда $A_0 = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

$E_0$ – энергия в начальный момент времени.

Решение

Полная механическая энергия пружинного маятника определяется по формуле $E = \frac{kA^2}{2}$, где $\text{k}$ – жёсткость пружины, а $\text{A}$ – амплитуда колебаний. В начальный момент времени ($t=0$) тело находится в точке максимального отклонения, его скорость равна нулю, поэтому полная энергия равна потенциальной энергии пружины.

Подставим значения в формулу:

$E_0 = \frac{k A_0^2}{2} = \frac{100 \text{ Н/м} \cdot (0.02 \text{ м})^2}{2} = 50 \cdot 0.0004 \text{ Дж} = 0.02 \text{ Дж}$.

Ответ: $\text{20}$ мДж.

Через какое время энергия маятника уменьшится в 4 раза?

Решение

Полная механическая энергия маятника пропорциональна квадрату амплитуды колебаний: $E \sim A^2$.

Если энергия уменьшится в 4 раза, то есть $E_t = \frac{E_0}{4}$, то это означает, что квадрат амплитуды также уменьшится в 4 раза.

$\frac{E_t}{E_0} = \frac{A_t^2}{A_0^2} = \frac{1}{4}$

Отсюда следует, что амплитуда $A_t$ в этот момент времени $\text{t}$ должна уменьшиться в 2 раза по сравнению с начальной $A_0$:

$A_t = \sqrt{\frac{A_0^2}{4}} = \frac{A_0}{2}$

Начальная амплитуда, согласно графику, составляет $A_0 = 2$ см. Следовательно, нам нужно найти момент времени, когда амплитуда станет равной $A_t = \frac{2 \text{ см}}{2} = 1$ см.

Анализируя график, мы видим, что амплитуда колебаний (максимальное отклонение от положения равновесия в данном цикле) достигает значения 1 см в момент времени, соответствующий второму нижнему пику (впадине), где координата $x = -1$ см. По оси времени $\text{t}$ этому моменту соответствует значение $t = 2.25$ с.

Ответ: $2.25$ с.