Номер 4.107, страница 99 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Колебательные системы - номер 4.107, страница 99.

Условие.

4.107*. Брусок из дерева размером $10 \times 20 \times 20$ см плавает в воде, погружаясь на $\frac{3}{4}$ объёма. Брусок слегка погрузили в воду и отпустили. Найдите период колебаний бруска.

Решение.

Дано:
Размеры бруска: $a = 10$ см, $b = 20$ см, $c = 20$ см
Отношение погруженного объема к полному: $V_{погр} / V = 3/4$
Плотность воды: $ρ_в ≈ 1000$ кг/м³
Ускорение свободного падения: $g ≈ 9.8$ м/с²

Перевод в систему СИ:
$a = 0.1$ м
$b = 0.2$ м
$c = 0.2$ м

Найти:
$\text{T}$ - ?

Решение:
Когда брусок плавает в воде в состоянии равновесия, действующая на него сила тяжести $F_т$ уравновешивается выталкивающей силой Архимеда $F_А$.
$F_т = F_А$
$m \cdot g = ρ_в \cdot g \cdot V_{погр}$
где $\text{m}$ – масса бруска, $ρ_в$ – плотность воды, $V_{погр}$ – объем погруженной части бруска.
Отсюда следует, что масса бруска равна $m = ρ_в \cdot V_{погр}$.
По условию задачи, $V_{погр} = \frac{3}{4}V$, где $\text{V}$ – полный объем бруска. Следовательно, $m = ρ_в \cdot \frac{3}{4}V$.

Когда брусок смещают из положения равновесия вертикально вниз на малую величину $\text{x}$, объем погруженной части увеличивается на $ΔV = S \cdot x$, где $\text{S}$ – площадь основания бруска. Это создает дополнительную выталкивающую силу $ΔF_А$, направленную вверх и стремящуюся вернуть тело в положение равновесия.
$ΔF_А = ρ_в \cdot g \cdot ΔV = ρ_в \cdot g \cdot S \cdot x$
Эта сила является возвращающей, и по второму закону Ньютона уравнение движения бруска можно записать как:
$m \cdot a = -ΔF_А$
$m \frac{d^2x}{dt^2} = - (ρ_в g S) \cdot x$
Это дифференциальное уравнение гармонических колебаний вида $m\ddot{x} + kx = 0$, где коэффициент жесткости (аналог коэффициента упругости пружины) равен $k = ρ_в g S$.

Период таких колебаний определяется по формуле:
$T = 2π \sqrt{\frac{m}{k}}$
Подставим в эту формулу найденные выражения для массы $\text{m}$ и коэффициента $\text{k}$:
$T = 2π \sqrt{\frac{ρ_в \cdot \frac{3}{4}V}{ρ_в \cdot g \cdot S}} = 2π \sqrt{\frac{3V}{4gS}}$
Полный объем бруска можно выразить через площадь его основания $\text{S}$ и высоту $\text{h}$: $V = S \cdot h$. Брусок будет плавать в наиболее устойчивом положении, когда его центр тяжести находится как можно ниже, то есть когда его самая большая грань (20×20 см) параллельна поверхности воды. В этом случае высота бруска $\text{h}$ будет равна его наименьшему размеру: $h = 10$ см $= 0.1$ м.
Подставив $V = S \cdot h$ в формулу для периода, получим:
$T = 2π \sqrt{\frac{3 \cdot S \cdot h}{4gS}} = 2π \sqrt{\frac{3h}{4g}}$
Как видно из формулы, период колебаний зависит только от высоты бруска $\text{h}$ и не зависит от площади его основания $\text{S}$.

Выполним расчет, подставив числовые значения в системе СИ ($h = 0.1$ м, $g ≈ 9.8$ м/с²):
$T = 2π \sqrt{\frac{3 \cdot 0.1}{4 \cdot 9.8}} = 2π \sqrt{\frac{0.3}{39.2}} ≈ 2π \sqrt{0.007653} ≈ 2π \cdot 0.08748 ≈ 0.5496$ с.
Округлим полученный результат до сотых.
Ответ: $T ≈ 0.55$ с.