Номер 4.102, страница 98 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Колебательные системы - номер 4.102, страница 98.

Условие.

4.102**. Шарик радиусом $\text{r}$ катается без проскальзывания по поверхности чаши, радиус кривизны которой $\text{R}$, $R > r$ (рис. 4.25). Определите период малых колебаний шарика. Трением качения пренебречь.

Рис. 4.25

Решение.

Дано:

Радиус шарика: $\text{r}$

Радиус кривизны чаши: $\text{R}$

Условие: $R > r$

Движение: качение без проскальзывания

Колебания: малые

Найти:

Период малых колебаний шарика: $\text{T}$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии. Полная механическая энергия $\text{E}$ шарика состоит из его кинетической и потенциальной энергии.

1. Потенциальная энергия.

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии самое нижнее положение центра масс шарика. Центр масс шарика движется по дуге окружности радиусом $R_{cm} = R - r$. Отклонение шарика от положения равновесия будем характеризовать углом $\theta$ между вертикалью и направлением на центр шарика из центра кривизны чаши. При отклонении на угол $\theta$ высота центра масс шарика над положением равновесия будет равна:

$h = (R-r) - (R-r)\cos\theta = (R-r)(1-\cos\theta)$

Потенциальная энергия шарика массой $\text{m}$ равна:

$U = mgh = mg(R-r)(1-\cos\theta)$

2. Кинетическая энергия.

Кинетическая энергия шарика складывается из энергии поступательного движения его центра масс и энергии вращательного движения вокруг центра масс.

$K = K_{пост} + K_{вращ}$

Скорость центра масс $\text{v}$ связана с угловой скоростью его движения по окружности $\dot{\theta} = d\theta/dt$ соотношением:

$v = (R-r)\dot{\theta}$

Энергия поступательного движения:

$K_{пост} = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(R-r)^2\dot{\theta}^2$

Энергия вращательного движения:

$K_{вращ} = \frac{1}{2}I\omega^2$

где $\text{I}$ – момент инерции шарика относительно оси, проходящей через его центр, а $\omega$ – его угловая скорость вращения. Для сплошного шара $I = \frac{2}{5}mr^2$.

Условие качения без проскальзывания связывает скорость центра масс $\text{v}$ и угловую скорость вращения $\omega$: $v = \omega r$. Отсюда $\omega = v/r$.

Подставляя $\text{v}$ и $\text{I}$ в формулу для энергии вращения, получаем:

$K_{вращ} = \frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}mr^2\right)\left(\frac{v}{r}\right)^2 = \frac{1}{5}mv^2 = \frac{1}{5}m(R-r)^2\dot{\theta}^2$

Полная кинетическая энергия:

$K = K_{пост} + K_{вращ} = \frac{1}{2}m(R-r)^2\dot{\theta}^2 + \frac{1}{5}m(R-r)^2\dot{\theta}^2 = \frac{7}{10}m(R-r)^2\dot{\theta}^2$

3. Закон сохранения энергии.

Полная механическая энергия системы сохраняется, так как трением качения пренебрегаем, а сила трения покоя (статического трения), обеспечивающая качение без проскальзывания, работы не совершает.

$E = K + U = \frac{7}{10}m(R-r)^2\dot{\theta}^2 + mg(R-r)(1-\cos\theta) = \text{const}$

Продифференцируем это выражение по времени, чтобы получить уравнение движения:

$\frac{dE}{dt} = \frac{7}{10}m(R-r)^2 \cdot 2\dot{\theta}\ddot{\theta} + mg(R-r)(\sin\theta)\dot{\theta} = 0$

Сокращая на $m(R-r)\dot{\theta}$ (поскольку $\dot{\theta}$ не всегда равно нулю), получаем:

$\frac{7}{5}(R-r)\ddot{\theta} + g\sin\theta = 0$

$\ddot{\theta} + \frac{5g}{7(R-r)}\sin\theta = 0$

4. Период малых колебаний.

Для малых колебаний угол $\theta$ мал, поэтому можно использовать приближение $\sin\theta \approx \theta$. Уравнение движения принимает вид:

$\ddot{\theta} + \frac{5g}{7(R-r)}\theta = 0$

Это дифференциальное уравнение гармонических колебаний вида $\ddot{\theta} + \omega_{osc}^2\theta = 0$, где $\omega_{osc}$ – циклическая частота колебаний.

Сравнивая уравнения, находим квадрат циклической частоты:

$\omega_{osc}^2 = \frac{5g}{7(R-r)}$

Период колебаний $\text{T}$ связан с циклической частотой соотношением $T = \frac{2\pi}{\omega_{osc}}$.

$T = 2\pi\sqrt{\frac{7(R-r)}{5g}}$

Ответ: $T = 2\pi\sqrt{\frac{7(R-r)}{5g}}$