Номер 4.95, страница 97 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Математический маятник - номер 4.95, страница 97.

Условие.

4.95*. Математический маятник с длиной нити 1 м установлен на платформе. Найдите период колебаний маятника, если платформа движется с ускорением $4 \text{ м/с}^2$:

а) вверх;

б) вниз;

в) горизонтально.

Решение.

Дано:

Длина нити маятника, $l = 1$ м
Ускорение платформы, $a = 4$ м/с²
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

Период колебаний маятника: $T_a$, $T_b$, $T_c$.

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется формулой:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{эфф}}}$
где $\text{l}$ — длина нити, а $g_{эфф}$ — эффективное ускорение свободного падения. Когда маятник находится в неинерциальной системе отсчета, движущейся с ускорением $\vec{a}$, на тело маятника действует сила инерции $\vec{F}_{ин} = -m\vec{a}$. Тогда эффективное ускорение свободного падения можно найти как векторную разность:
$\vec{g}_{эфф} = \vec{g} - \vec{a}$
Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) вверх
Платформа движется с ускорением $\vec{a}$, направленным вертикально вверх. Ускорение свободного падения $\vec{g}$ направлено вертикально вниз. Векторы $\vec{g}$ и $\vec{a}$ направлены в противоположные стороны. Модуль эффективного ускорения свободного падения равен:
$g_{эфф,а} = g + a = 9.8 \text{ м/с}^2 + 4 \text{ м/с}^2 = 13.8 \text{ м/с}^2$
Тогда период колебаний равен:
$T_a = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g+a}} = 2\pi \sqrt{\frac{1 \text{ м}}{13.8 \text{ м/с}^2}} \approx 1.69 \text{ с}$
Ответ: $1.69 \text{ с}$.

б) вниз
Платформа движется с ускорением $\vec{a}$, направленным вертикально вниз. Ускорение свободного падения $\vec{g}$ также направлено вертикально вниз. Векторы $\vec{g}$ и $\vec{a}$ сонаправлены. Модуль эффективного ускорения свободного падения равен:
$g_{эфф,б} = g - a = 9.8 \text{ м/с}^2 - 4 \text{ м/с}^2 = 5.8 \text{ м/с}^2$
Тогда период колебаний равен:
$T_б = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g-a}} = 2\pi \sqrt{\frac{1 \text{ м}}{5.8 \text{ м/с}^2}} \approx 2.61 \text{ с}$
Ответ: $2.61 \text{ с}$.

в) горизонтально
Платформа движется с ускорением $\vec{a}$, направленным горизонтально. Ускорение свободного падения $\vec{g}$ направлено вертикально вниз. Векторы $\vec{g}$ и $\vec{a}$ взаимно перпендикулярны. Модуль эффективного ускорения свободного падения найдем по теореме Пифагора для векторов $\vec{g}$ и $-\vec{a}$:
$g_{эфф,в} = |\vec{g} - \vec{a}| = \sqrt{g^2 + a^2} = \sqrt{(9.8 \text{ м/с}^2)^2 + (4 \text{ м/с}^2)^2} = \sqrt{96.04 + 16} \text{ м/с}^2 = \sqrt{112.04} \text{ м/с}^2 \approx 10.59 \text{ м/с}^2$
Тогда период колебаний равен:
$T_в = 2\pi \sqrt{\frac{l}{\sqrt{g^2+a^2}}} = 2\pi \sqrt{\frac{1 \text{ м}}{10.59 \text{ м/с}^2}} \approx 1.93 \text{ с}$
Ответ: $1.93 \text{ с}$.