Номер 4.92, страница 97 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Математический маятник - номер 4.92, страница 97.

Условие.

4.92. Определите период колебаний секундного маятника на высоте от поверхности Земли, равной:

а) радиусу Земли;

б) 600 км.

Решение.

Секундным маятником называют такой математический маятник, период колебаний которого на поверхности Земли ($T_0$) равен двум секундам.

Период колебаний математического маятника определяется формулой $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$, где $\text{l}$ — длина маятника, а $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Ускорение свободного падения зависит от расстояния до центра Земли. На поверхности Земли (на расстоянии $\text{R}$ от центра, где $\text{R}$ — радиус Земли) оно равно $g_0 = G\frac{M}{R^2}$. На высоте $\text{h}$ от поверхности (на расстоянии $R+h$ от центра) оно равно $g_h = G\frac{M}{(R+h)^2}$.

Найдем отношение периодов колебаний на высоте $\text{h}$ ($T_h$) и на поверхности Земли ($T_0$):

$\frac{T_h}{T_0} = \frac{2\pi\sqrt{l/g_h}}{2\pi\sqrt{l/g_0}} = \sqrt{\frac{g_0}{g_h}} = \sqrt{\frac{G M/R^2}{G M/(R+h)^2}} = \sqrt{\frac{(R+h)^2}{R^2}} = \frac{R+h}{R} = 1 + \frac{h}{R}$.

Отсюда формула для периода на высоте $\text{h}$: $T_h = T_0 \left(1 + \frac{h}{R}\right)$.

а) радиусу Земли

Дано:
$T_0 = 2$ с
$h = R$

Найти:
$T_h$

Решение:
Воспользуемся выведенной общей формулой. Подставим в нее значение высоты $h=R$: $T_h = T_0 \left(1 + \frac{R}{R}\right) = T_0 (1+1) = 2T_0$. Подставим значение периода секундного маятника $T_0 = 2$ с: $T_h = 2 \cdot 2 \text{ с} = 4 \text{ с}$.
Ответ: 4 с.

б) 600 км

Дано:
$T_0 = 2$ с
$h = 600$ км
$R \approx 6400$ км (средний радиус Земли)

$h = 600 \cdot 10^3 \text{ м} = 6 \cdot 10^5 \text{ м}$
$R \approx 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:
$T_h$

Решение:
Воспользуемся общей формулой $T_h = T_0 \left(1 + \frac{h}{R}\right)$ и подставим в нее числовые значения. Для расчета отношения $\frac{h}{R}$ можно использовать значения в километрах. $T_h = 2 \text{ с} \cdot \left(1 + \frac{600 \text{ км}}{6400 \text{ км}}\right) = 2 \cdot \left(1 + \frac{6}{64}\right) = 2 \cdot \left(1 + \frac{3}{32}\right)$. $T_h = 2 \cdot \left(\frac{32}{32} + \frac{3}{32}\right) = 2 \cdot \frac{35}{32} = \frac{35}{16} = 2.1875 \text{ с}$. Округлим результат до трех значащих цифр: $T_h \approx 2.19 \text{ с}$.
Ответ: $\approx 2.19$ с.