Номер 4.88, страница 97 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Математический маятник - номер 4.88, страница 97.

Условие.

4.88. Кинетическая энергия математического маятника массой 2 кг изменяется с течением времени так, как показано на графике (рис. 4.21). Определите:

а) частоту колебаний;

б) амплитуду колебаний;

в) длину нити.

Рис. 4.21

Решение.

Дано:

$m = 2$ кг

$E_{k, max} = 40$ мДж = $40 \cdot 10^{-3}$ Дж = $0.04$ Дж (из графика)

g $\approx 9.8$ м/с²

Найти:

а) $\nu$ - ?

б) $\text{A}$ - ?

в) $\text{l}$ - ?

Решение:

а) частоту колебаний

Кинетическая энергия маятника $E_k = \frac{mv^2}{2}$. Так как скорость $\text{v}$ при гармонических колебаниях меняется по закону синуса или косинуса, кинетическая энергия, пропорциональная $v^2$, будет меняться с удвоенной частотой. Следовательно, период колебаний маятника $\text{T}$ в два раза больше периода колебаний кинетической энергии $T_{E_k}$.

Из графика видно, что время между двумя последовательными максимумами кинетической энергии (например, при $t_1 \approx 0.25$ с и $t_2 \approx 0.75$ с) составляет:

$T_{E_k} = t_2 - t_1 = 0.75 \text{ с} - 0.25 \text{ с} = 0.5 \text{ с}$

Тогда период колебаний маятника:

$T = 2 \cdot T_{E_k} = 2 \cdot 0.5 \text{ с} = 1 \text{ с}$

Частота колебаний $\nu$ – это величина, обратная периоду:

$\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{1 \text{ с}} = 1$ Гц

Ответ: частота колебаний маятника равна $\text{1}$ Гц.

б) амплитуду колебаний

Максимальная кинетическая энергия маятника достигается при прохождении положения равновесия и связана с максимальной скоростью $v_{max}$:

$E_{k, max} = \frac{m v_{max}^2}{2}$

Выразим максимальную скорость:

$v_{max} = \sqrt{\frac{2 E_{k, max}}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0.04 \text{ Дж}}{2 \text{ кг}}} = \sqrt{0.04 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} = 0.2$ м/с

Максимальная скорость связана с амплитудой колебаний $\text{A}$ и циклической частотой $\omega$ соотношением:

$v_{max} = A \cdot \omega$

Циклическая частота $\omega = 2\pi\nu = 2\pi \cdot 1 \text{ Гц} = 2\pi$ рад/с.

Тогда амплитуда колебаний равна:

$A = \frac{v_{max}}{\omega} = \frac{0.2 \text{ м/с}}{2\pi \text{ рад/с}} = \frac{0.1}{\pi} \text{ м} \approx 0.032 \text{ м} = 3.2 \text{ см}$

Ответ: амплитуда колебаний составляет $\frac{0.1}{\pi}$ м или примерно $3.2$ см.

в) длину нити

Период колебаний математического маятника определяется его длиной $\text{l}$ и ускорением свободного падения $\text{g}$ по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Возведем обе части в квадрат и выразим длину нити $\text{l}$:

$T^2 = 4\pi^2 \frac{l}{g} \implies l = \frac{g T^2}{4\pi^2}$

Подставим известные значения ($T=1$ с и $g \approx 9.8$ м/с²):

$l = \frac{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot (1 \text{ с})^2}{4\pi^2} \approx \frac{9.8}{4 \cdot (3.14)^2} \approx \frac{9.8}{39.44} \approx 0.248 \text{ м} \approx 25 \text{ см}$

(Если принять $g \approx \pi^2$ м/с², то $l = \frac{\pi^2 \cdot 1^2}{4\pi^2} = 0.25$ м)

Ответ: длина нити маятника примерно равна $0.25$ м или $\text{25}$ см.