Номер 4.90, страница 97 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Математический маятник - номер 4.90, страница 97.

Условие.

4.90. За одно и то же время один математический маятник делает 50 колебаний, а другой — 30. Найдите длины их нитей, если одна из них на 32 см короче другой.

Решение.

Дано:

Число колебаний первого маятника, $n_1 = 50$.

Число колебаний второго маятника, $n_2 = 30$.

Разница в длинах нитей, $\Delta l = 32$ см.

Время колебаний, $t_1 = t_2 = t$.

Перевод в систему СИ:

$\Delta l = 0.32$ м.

Найти:

Длины нитей маятников $l_1$ и $l_2$.

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется по формуле Гюйгенса:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $\text{l}$ — длина нити маятника, а $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Период колебаний также можно определить как время $\text{t}$, затраченное на совершение $\text{n}$ полных колебаний:

$T = \frac{t}{n}$

Поскольку по условию задачи оба маятника совершают колебания в течение одного и того же промежутка времени $\text{t}$, мы можем записать:

$t = n_1 T_1$ и $t = n_2 T_2$

Отсюда следует равенство:

$n_1 T_1 = n_2 T_2$

Подставим в это равенство формулу периода для каждого маятника:

$n_1 \cdot 2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}} = n_2 \cdot 2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}$

Сократим в уравнении одинаковые множители $2\pi$ и $\sqrt{g}$:

$n_1\sqrt{l_1} = n_2\sqrt{l_2}$

Из этого соотношения выразим отношение длин нитей. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат:

$(n_1\sqrt{l_1})^2 = (n_2\sqrt{l_2})^2$

$n_1^2 l_1 = n_2^2 l_2$

$\frac{l_2}{l_1} = \frac{n_1^2}{n_2^2} = \left(\frac{n_1}{n_2}\right)^2$

Маятник, который совершает больше колебаний за то же время, имеет меньший период ($T_1 < T_2$), а следовательно, и меньшую длину нити ($l_1 < l_2$). Так как $n_1 = 50 > n_2 = 30$, то $l_1 < l_2$.

Из условия задачи мы знаем, что разница длин нитей составляет 32 см:

$l_2 - l_1 = \Delta l$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными, $l_1$ и $l_2$:

$\begin{cases} \frac{l_2}{l_1} = (\frac{n_1}{n_2})^2 \\ l_2 - l_1 = \Delta l \end{cases}$

Выразим $l_2$ из второго уравнения ($l_2 = l_1 + \Delta l$) и подставим в первое:

$\frac{l_1 + \Delta l}{l_1} = \left(\frac{n_1}{n_2}\right)^2$

$1 + \frac{\Delta l}{l_1} = \left(\frac{n_1}{n_2}\right)^2$

Отсюда выражаем $l_1$:

$\frac{\Delta l}{l_1} = \left(\frac{n_1}{n_2}\right)^2 - 1$

$l_1 = \frac{\Delta l}{\left(\frac{n_1}{n_2}\right)^2 - 1}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$l_1 = \frac{0.32}{\left(\frac{50}{30}\right)^2 - 1} = \frac{0.32}{\left(\frac{5}{3}\right)^2 - 1} = \frac{0.32}{\frac{25}{9} - 1} = \frac{0.32}{\frac{25 - 9}{9}} = \frac{0.32}{\frac{16}{9}} = 0.32 \cdot \frac{9}{16} = 0.02 \cdot 9 = 0.18$ м.

Теперь найдем длину второй нити $l_2$:

$l_2 = l_1 + \Delta l = 0.18 \text{ м} + 0.32 \text{ м} = 0.50$ м.

Переведем найденные значения в сантиметры:

$l_1 = 0.18 \text{ м} = 18$ см

$l_2 = 0.50 \text{ м} = 50$ см

Ответ: длины нитей маятников равны 18 см и 50 см.