Номер 4.86, страница 96 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Математический маятник - номер 4.86, страница 96.

Условие.

4.86. Груз массой $\text{m}$, подвешенный на длинной нерастяжимой нити длиной $\text{l}$, совершает колебания с периодом $\text{T}$. Если при неизменном значении угла наибольшего отклонения $\alpha$ увеличить длину нити, то как изменится:

а) период колебаний;

б) наибольшая кинетическая энергия?

Решение.

Дано:

Масса груза: $\text{m}$

Начальная длина нити: $l_1$

Конечная длина нити: $l_2$

Наибольший угол отклонения: $\alpha$

Условие: $l_2 > l_1$, $\alpha = \text{const}$

Найти:

Как изменятся:

а) период колебаний $\text{T}$?

б) наибольшая кинетическая энергия $E_{k,max}$?

Решение:

а) период колебаний

Период колебаний математического маятника (груза на длинной нерастяжимой нити) определяется формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $\text{l}$ — длина нити, а $\text{g}$ — ускорение свободного падения. Из формулы видно, что период колебаний $\text{T}$ прямо пропорционален квадратному корню из длины нити ($T \propto \sqrt{l}$). Поскольку по условию задачи длина нити $\text{l}$ увеличивается, период колебаний $\text{T}$ также увеличится.

Ответ: Период колебаний увеличится.

б) наибольшая кинетическая энергия

Согласно закону сохранения механической энергии, наибольшая кинетическая энергия $E_{k, max}$, которую тело имеет при прохождении положения равновесия, равна его наибольшей потенциальной энергии $E_{p, max}$ в точке максимального отклонения.

$E_{k, max} = E_{p, max}$

Наибольшая потенциальная энергия зависит от максимальной высоты подъема груза $h_{max}$ над положением равновесия:

$E_{p, max} = mgh_{max}$

Максимальную высоту подъема можно выразить через длину нити $\text{l}$ и наибольший угол отклонения $\alpha$. Из геометрии маятника следует, что:

$h_{max} = l - l \cos(\alpha) = l(1 - \cos(\alpha))$

Следовательно, формула для наибольшей кинетической энергии имеет вид:

$E_{k, max} = mgl(1 - \cos(\alpha))$

По условию масса груза $\text{m}$ и наибольший угол отклонения $\alpha$ остаются неизменными. Ускорение свободного падения $\text{g}$ также является постоянной величиной. Таким образом, наибольшая кинетическая энергия прямо пропорциональна длине нити $\text{l}$ ($E_{k, max} \propto l$). Так как длина нити увеличивается, наибольшая кинетическая энергия также увеличится.

Ответ: Наибольшая кинетическая энергия увеличится.