Номер 4.80, страница 96 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Математический маятник - номер 4.80, страница 96.

Условие.

4.80. Маленький груз массой $\text{m}$ закреплён на нити длиной $\text{l}$. Считая углы отклонения нити от вертикали малыми (для малых углов можно считать, что значения их синусов приблизительно равны самим углам (в радианах)), найдите зависимость потенциальной энергии груза от смещения $\text{x}$ (рис. 4.19). Трением пренебречь.

Рис. 4.19

Решение.

Дано:

Масса груза: $\text{m}$
Длина нити: $\text{l}$
Горизонтальное смещение от положения равновесия: $\text{x}$
Ускорение свободного падения: $\text{g}$
Угол отклонения нити от вертикали $\alpha$ является малым.

Найти:

Зависимость потенциальной энергии $E_p$ от смещения $\text{x}$, то есть $E_p(x)$.

Решение:

Потенциальная энергия тела, поднятого на высоту $\text{h}$ над нулевым уровнем, в поле тяжести Земли вычисляется по формуле:$E_p = mgh$.Выберем в качестве нулевого уровня для отсчета потенциальной энергии самое нижнее положение груза, то есть его положение равновесия (точка О на рисунке).

Когда нить с грузом отклоняется от вертикали на угол $\alpha$, груз поднимается на некоторую высоту $\text{h}$ относительно положения равновесия. Эту высоту можно найти из геометрических соображений.Рассмотрим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является нить длиной $\text{l}$, а катетами — вертикальное и горизонтальное смещения. Вертикальный катет, прилежащий к углу $\alpha$, равен $l \cos\alpha$.Тогда высота подъема $\text{h}$ будет равна разности длины нити $\text{l}$ и длины этого вертикального катета:$h = l - l \cos\alpha = l(1 - \cos\alpha)$.

Таким образом, формула для потенциальной энергии принимает вид:$E_p = mgl(1 - \cos\alpha)$.

Теперь необходимо связать угол $\alpha$ с горизонтальным смещением $\text{x}$. Из того же прямоугольного треугольника видно, что противолежащий углу $\alpha$ катет равен $\text{x}$. Следовательно:$\sin\alpha = \frac{x}{l}$.

Согласно условию задачи, угол отклонения $\alpha$ мал. Для малых углов, выраженных в радианах, справедливы следующие приближенные соотношения (разложение в ряд Тейлора):$\sin\alpha \approx \alpha$$\cos\alpha \approx 1 - \frac{\alpha^2}{2}$

Используя первое приближение, выразим угол $\alpha$ через $\text{x}$ и $\text{l}$:$\alpha \approx \sin\alpha = \frac{x}{l}$.

Теперь подставим это выражение для $\alpha$ во второе приближение для косинуса:$\cos\alpha \approx 1 - \frac{1}{2}\left(\frac{x}{l}\right)^2 = 1 - \frac{x^2}{2l^2}$.

Подставим полученное выражение для $\cos\alpha$ в формулу для потенциальной энергии:$E_p = mgl(1 - \cos\alpha) \approx mgl\left(1 - \left(1 - \frac{x^2}{2l^2}\right)\right)$.

Раскроем скобки и упростим выражение:$E_p \approx mgl\left(1 - 1 + \frac{x^2}{2l^2}\right) = mgl\left(\frac{x^2}{2l^2}\right)$.

Сократив на $\text{l}$, получим искомую зависимость:$E_p(x) = \frac{mgx^2}{2l}$.

Ответ: $E_p(x) = \frac{mgx^2}{2l}$.