Номер 4.74, страница 95 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Пружинный маятник - номер 4.74, страница 95.

Условие.

4.74. Масса колеблющегося тела 10 мг, частота колебаний 500 Гц, амплитуда 2 мм. В точке с координатой 1 мм определите:

а) кинетическую энергию;

б) скорость тела.

Решение.

Дано:

$m = 10 \text{ мг}$

$f = 500 \text{ Гц}$

$A = 2 \text{ мм}$

$x = 1 \text{ мм}$

$m = 10 \cdot 10^{-6} \text{ кг} = 10^{-5} \text{ кг}$

$A = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$x = 1 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

а) $E_к$ - ?

б) $\text{v}$ - ?

Решение:

При гармонических колебаниях полная механическая энергия тела $\text{E}$ сохраняется и в любой момент времени равна сумме его кинетической $E_к$ и потенциальной $E_п$ энергий.

Полная энергия определяется амплитудой колебаний $\text{A}$ и циклической частотой $\omega$:

$E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$

Потенциальная энергия тела, находящегося в точке с координатой $\text{x}$:

$E_п = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$

Следовательно, кинетическая энергия в этой точке равна разности полной и потенциальной энергий:

$E_к = E - E_п = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 - \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$

Циклическая (угловая) частота $\omega$ связана с линейной частотой $\text{f}$ соотношением:

$\omega = 2 \pi f = 2 \pi \cdot 500 \text{ Гц} = 1000 \pi \text{ рад/с}$

а) кинетическую энергию

Подставим известные значения в формулу для кинетической энергии:

$E_к = \frac{1}{2} \cdot 10^{-5} \text{ кг} \cdot (1000 \pi \text{ рад/с})^2 \cdot ((2 \cdot 10^{-3} \text{ м})^2 - (1 \cdot 10^{-3} \text{ м})^2)$

$E_к = 0,5 \cdot 10^{-5} \cdot 10^6 \pi^2 \cdot (4 \cdot 10^{-6} - 1 \cdot 10^{-6}) \text{ Дж}$

$E_к = 5 \pi^2 \cdot (3 \cdot 10^{-6}) \text{ Дж} = 15 \pi^2 \cdot 10^{-6} \text{ Дж}$

Вычислим приближенное значение, приняв $\pi^2 \approx 9,87$:

$E_к \approx 15 \cdot 9,87 \cdot 10^{-6} \text{ Дж} \approx 148,05 \cdot 10^{-6} \text{ Дж} \approx 1,48 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$

Ответ: $E_к \approx 1,48 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$.

б) скорость тела

Скорость тела можно найти из формулы для кинетической энергии: $E_к = \frac{1}{2} m v^2$.

$v = \sqrt{\frac{2 E_к}{m}}$

Подставим в формулу точное выражение для $E_к$, которое мы нашли в пункте а):

$v = \sqrt{\frac{2 \cdot 15 \pi^2 \cdot 10^{-6} \text{ Дж}}{10^{-5} \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{30 \pi^2 \cdot 10^{-6}}{10^{-5}}} = \sqrt{3 \pi^2} = \pi \sqrt{3} \text{ м/с}$

Вычислим численное значение:

$v \approx 3,14 \cdot 1,732 \approx 5,44 \text{ м/с}$

Ответ: $v = \pi \sqrt{3} \text{ м/с} \approx 5,44 \text{ м/с}$.