Номер 4.69, страница 94 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Пружинный маятник - номер 4.69, страница 94.

Условие.

4.69. Координата груза массой 2 кг, совершающего горизонтальные колебания на пружине, изменяется со временем по закону $x = 0,2\cos 10t$ (м).

а) Получите уравнение зависимости проекции силы упругости от времени.

б) Найдите силу упругости в момент времени $t_1 = T/12$.

в) Найдите жёсткость пружины.

Решение.

Дано:

$m = 2$ кг

$x(t) = 0.2\cos(10t)$ (м)

$t_1 = T/12$

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

a) $F_{упр, x}(t)$ - ?

б) $F_{упр, x}(t_1)$ - ?

в) $\text{k}$ - ?

Решение:

Уравнение гармонических колебаний в общем виде записывается как $x(t) = A\cos(\omega t + \phi_0)$, где $\text{A}$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая (угловая) частота, а $\phi_0$ — начальная фаза колебаний.

Сравнивая общее уравнение с заданным в условии $x = 0.2\cos(10t)$, мы можем определить параметры движения:

Амплитуда $A = 0.2$ м.

Циклическая частота $\omega = 10$ рад/с.

Начальная фаза $\phi_0 = 0$.

а) Получите уравнение зависимости проекции силы упругости от времени.

Проекция силы упругости на ось $\text{x}$ определяется законом Гука: $F_{упр, x} = -kx$, где $\text{k}$ — жёсткость пружины. Для того чтобы найти зависимость $F_{упр, x}(t)$, необходимо сначала найти коэффициент жёсткости $\text{k}$.

Циклическая частота для пружинного маятника связана с массой груза $\text{m}$ и жёсткостью пружины $\text{k}$ формулой: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$.

Выразим из этой формулы жёсткость $\text{k}$: $k = m\omega^2$.

Подставим известные значения массы и циклической частоты:

$k = 2 \text{ кг} \cdot (10 \text{ рад/с})^2 = 2 \cdot 100 = 200$ Н/м.

Теперь подставим выражение для координаты $x(t)$ и значение $\text{k}$ в закон Гука:

$F_{упр, x}(t) = -k \cdot x(t) = -200 \cdot 0.2\cos(10t) = -40\cos(10t)$.

Таким образом, уравнение зависимости проекции силы упругости от времени имеет вид $F_{упр, x}(t) = -40\cos(10t)$ (Н).

Ответ: $F_{упр, x}(t) = -40\cos(10t)$ (Н).

б) Найдите силу упругости в момент времени $t_1 = T/12$.

Сначала определим период колебаний $\text{T}$, используя связь с циклической частотой $\omega$: $T = \frac{2\pi}{\omega}$.

$T = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5}$ с.

Теперь вычислим момент времени $t_1$:

$t_1 = \frac{T}{12} = \frac{\pi/5}{12} = \frac{\pi}{60}$ с.

Подставим значение $t_1$ в уравнение для силы упругости, полученное в пункте (а):

$F_{упр, x}(t_1) = -40\cos(10 \cdot t_1) = -40\cos(10 \cdot \frac{\pi}{60}) = -40\cos(\frac{\pi}{6})$.

Зная, что $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$F_{упр, x}(t_1) = -40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -20\sqrt{3}$ Н.

Приблизительное значение силы: $F_{упр, x}(t_1) \approx -20 \cdot 1.732 \approx -34.64$ Н.

Ответ: $F_{упр, x} = -20\sqrt{3}$ Н.

в) Найдите жёсткость пружины.

Жёсткость пружины $\text{k}$ была найдена при решении пункта (а). Воспользуемся формулой, связывающей циклическую частоту, массу и жёсткость: $k = m\omega^2$.

Из условия задачи $m=2$ кг, а из уравнения движения $\omega=10$ рад/с.

Подставим эти значения в формулу:

$k = 2 \cdot (10)^2 = 2 \cdot 100 = 200$ Н/м.

Ответ: $k = 200$ Н/м.