Номер 4.62, страница 93 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Пружинный маятник - номер 4.62, страница 93.

Условие.

4.62*. Если к некоторому грузу, колеблющемуся на пружине, подвесить груз массой 100 г, то частота колебаний уменьшится в 1,41 раза. Какой массы груз был первоначально подвешен к пружине?

Решение.

Дано:

Дополнительный груз, $ \Delta m = 100 \text{ г} $
Отношение частот, $ \frac{\nu_1}{\nu_2} = 1,41 $

Перевод в систему СИ:
$ \Delta m = 100 \text{ г} = 0,1 \text{ кг} $

Найти:

Первоначальная масса груза, $ m_1 $ — ?

Решение:

Частота колебаний пружинного маятника определяется по формуле: $ \nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} $, где $ k $ — жесткость пружины, $ m $ — масса груза.

В начальном состоянии, когда к пружине был подвешен груз массой $ m_1 $, частота колебаний $ \nu_1 $ была равна: $ \nu_1 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_1}} $

После того как к первому грузу подвесили дополнительный груз массой $ \Delta m $, общая масса системы стала $ m_2 = m_1 + \Delta m $. Новая частота колебаний $ \nu_2 $: $ \nu_2 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_2}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_1 + \Delta m}} $

По условию задачи, частота уменьшилась в 1,41 раза, что означает $ \frac{\nu_1}{\nu_2} = 1,41 $. Подставим выражения для частот в это соотношение: $ \frac{\nu_1}{\nu_2} = \frac{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_1}}}{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_1 + \Delta m}}} = \sqrt{\frac{m_1 + \Delta m}{m_1}} $

Таким образом, мы получаем уравнение: $ \sqrt{\frac{m_1 + \Delta m}{m_1}} = 1,41 $

Возведем обе части уравнения в квадрат: $ \frac{m_1 + \Delta m}{m_1} = 1,41^2 $

Значение $ 1,41 $ является приближенным значением $ \sqrt{2} $. Следовательно, $ 1,41^2 \approx (\sqrt{2})^2 = 2 $. Подставим это значение в уравнение: $ \frac{m_1 + \Delta m}{m_1} \approx 2 $

$ 1 + \frac{\Delta m}{m_1} \approx 2 $

$ \frac{\Delta m}{m_1} \approx 1 $

Отсюда следует, что $ m_1 \approx \Delta m $.

$ m_1 \approx 0,1 \text{ кг} = 100 \text{ г} $

Ответ: первоначальная масса груза была 100 г.