Номер 4.58, страница 92 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Пружинный маятник - номер 4.58, страница 92.

Условие.

4.58. Груз, подвешенный на пружине, растягивает её на 1 см. Найдите период колебаний груза, если его сместить вниз на 2 см от положения равновесия и отпустить.

Рис. 4.15

Решение.

Дано:

Статическое растяжение пружины под действием груза: $\Delta l = 1 \text{ см}$

Смещение груза от положения равновесия (амплитуда колебаний): $A = 2 \text{ см}$

Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:

$\Delta l = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

$A = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Период колебаний груза $\text{T}$.

Решение:

Когда груз массой $\text{m}$ подвешен на пружине и находится в покое, он растягивает пружину на величину $\Delta l$. В этом положении равновесия сила тяжести $F_{тяж} = mg$, действующая на груз, уравновешена силой упругости пружины $F_{упр} = k \Delta l$, где $\text{k}$ – жесткость пружины.

Таким образом, мы можем записать равенство:

$mg = k \Delta l$

Из этого соотношения выразим отношение массы груза к жесткости пружины:

$\frac{m}{k} = \frac{\Delta l}{g}$

Период свободных гармонических колебаний пружинного маятника (груза на пружине) вычисляется по формуле:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

Теперь подставим в эту формулу выражение для $\frac{m}{k}$, полученное из условия равновесия:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{\Delta l}{g}}$

Эта формула показывает, что период колебаний пружинного маятника зависит только от величины статического растяжения пружины $\Delta l$ и ускорения свободного падения $\text{g}$. Смещение груза на 2 см от положения равновесия задает амплитуду колебаний, но для гармонических колебаний период от амплитуды не зависит. Поэтому значение $A=2$ см не используется в расчете периода.

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{0.01 \text{ м}}{9.8 \text{ м/с}^2}} \approx 2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{0.00102 \text{ с}^2} \approx 6.28 \cdot 0.0319 \text{ с} \approx 0.2005 \text{ с}$

Округляя, получаем:

$T \approx 0.2 \text{ с}$

Ответ: Период колебаний груза составляет примерно $0.2 \text{ с}$.