Номер 4.53, страница 92 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Пружинный маятник - номер 4.53, страница 92.

Условие.

4.53. Медный шарик, подвешенный к пружине, совершает колебания. Во сколько раз изменится период колебаний, если медный шарик заменить на алюминиевый такого же радиуса?

Решение.

Дано:

Шарик 1 — медный
Шарик 2 — алюминиевый
Радиус шариков: $R_1 = R_2 = R$
Плотность меди (справочное значение): $\rho_1 = \rho_{Cu} \approx 8900 \text{ кг/м}^3$
Плотность алюминия (справочное значение): $\rho_2 = \rho_{Al} \approx 2700 \text{ кг/м}^3$
Жесткость пружины: $\text{k}$

Найти:

Во сколько раз изменится период колебаний ($T_2/T_1$).

Решение:

Период колебаний пружинного маятника определяется по формуле Гюйгенса:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
где $\text{m}$ — масса груза, а $\text{k}$ — жесткость пружины.

Массу шарика можно выразить через его плотность $\rho$ и объем $\text{V}$:
$m = \rho \cdot V$

Поскольку по условию задачи шарики имеют одинаковый радиус $\text{R}$, их объемы также одинаковы:
$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Обозначим массу медного шарика как $m_1$, а алюминиевого — как $m_2$.
$m_1 = \rho_1 V$
$m_2 = \rho_2 V$

Период колебаний для медного шарика ($T_1$) и алюминиевого ($T_2$) будут равны:
$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{\rho_1 V}{k}}$
$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m_2}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{\rho_2 V}{k}}$

Чтобы найти, во сколько раз изменится период, найдем отношение нового периода $T_2$ к старому $T_1$:
$\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{\rho_2 V}{k}}}{2\pi \sqrt{\frac{\rho_1 V}{k}}} = \sqrt{\frac{\rho_2 V/k}{\rho_1 V/k}} = \sqrt{\frac{\rho_2}{\rho_1}}$

Подставим в полученную формулу табличные значения плотностей меди и алюминия:
$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{2700 \text{ кг/м}^3}{8900 \text{ кг/м}^3}} = \sqrt{\frac{27}{89}} \approx \sqrt{0.3034} \approx 0.55$

Поскольку полученное отношение меньше единицы, период колебаний уменьшится. Чтобы ответить на вопрос "во сколько раз", найдем, во сколько раз первоначальный период был больше конечного:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{1}{0.55} \approx 1.82$

Таким образом, период колебаний уменьшится примерно в 1,82 раза.

Ответ: Период колебаний уменьшится примерно в 1,82 раза.