Номер 4.47, страница 91 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Пружинный маятник - номер 4.47, страница 91.

Условие.

4.47. Груз массой $\text{m}$, подвешенный на пружине жёсткостью $\text{k}$ (см. рис. 4.13), оттянули вниз так, что длина пружины увеличилась на $x_m$, и отпустили. Получите уравнение зависимости силы упругости от времени.

Рис. 4.13

Решение.

Дано:

Масса груза: $\text{m}$

Жёсткость пружины: $\text{k}$

Дополнительное растяжение пружины от положения равновесия (амплитуда): $x_m$

Найти:

Уравнение зависимости силы упругости от времени: $F_{упр}(t)$

Решение:

1. Сначала определим положение равновесия груза на пружине. В этом положении сила тяжести $F_т = mg$, действующая на груз, уравновешивается силой упругости пружины $F_{упр,0} = kx_0$, где $x_0$ — растяжение пружины в положении равновесия.

$mg = kx_0$

Отсюда статическое растяжение пружины:

$x_0 = \frac{mg}{k}$

2. Когда груз оттягивают вниз на расстояние $x_m$ от положения равновесия и отпускают без начальной скорости, он начинает совершать гармонические колебания. Положение равновесия является центром этих колебаний, а максимальное отклонение от него, равное $x_m$, является амплитудой колебаний $\text{A}$.

$A = x_m$

3. Движение груза относительно положения равновесия описывается уравнением гармонических колебаний:

$x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$

где $x(t)$ — смещение от положения равновесия в момент времени $\text{t}$, $\omega$ — циклическая частота, $\phi_0$ — начальная фаза.

Циклическая частота колебаний пружинного маятника равна:

$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$

4. Определим начальную фазу $\phi_0$. В начальный момент времени ($t=0$) груз находится в точке максимального отклонения вниз, то есть его смещение от положения равновесия равно амплитуде: $x(0) = A = x_m$. Подставим это в уравнение колебаний:

$x_m = x_m \cos(\omega \cdot 0 + \phi_0)$

$1 = \cos(\phi_0)$

Отсюда следует, что начальная фаза $\phi_0 = 0$.

Таким образом, уравнение смещения груза от положения равновесия имеет вид:

$x(t) = x_m \cos(\omega t) = x_m \cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}} t\right)$

5. Полное растяжение пружины $\Delta l(t)$ в любой момент времени $\text{t}$ равно сумме статического растяжения $x_0$ и смещения от положения равновесия $x(t)$:

$\Delta l(t) = x_0 + x(t) = \frac{mg}{k} + x_m \cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}} t\right)$

6. Сила упругости пружины в любой момент времени определяется по закону Гука:

$F_{упр}(t) = k \cdot \Delta l(t)$

Подставим найденное выражение для $\Delta l(t)$:

$F_{упр}(t) = k \left( \frac{mg}{k} + x_m \cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}} t\right) \right)$

Раскрывая скобки, получаем окончательное уравнение для силы упругости:

$F_{упр}(t) = mg + kx_m \cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}} t\right)$

Ответ: $F_{упр}(t) = mg + kx_m \cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}} t\right)$.