Номер 4.42, страница 90 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.42, страница 90.

Условие.

4.42**. Горизонтальная платформа, на которой лежит брусок (рис. 4.9), совершает колебания так, что её координата меняется по закону $x = 20 \sin \omega t$ (см). При какой наибольшей циклической частоте $\omega$ брусок не будет отрываться от платформы?

Рис. 4.9

Решение.

Дано:

Закон движения платформы: $x = 20\sin(\omega t)$ (см)

Амплитуда колебаний: $A = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Наибольшую циклическую частоту $\omega_{max}$, при которой брусок не отрывается от платформы.

Решение:

Несмотря на упоминание "горизонтальная платформа", из рисунка и вопроса об "отрыве" следует, что речь идет о вертикальных колебаниях. Ось X направлена вертикально вниз.

На брусок действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вниз, и сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная вверх. Запишем второй закон Ньютона для бруска в проекции на ось X:

$ma_x = F_{проект}$

$ma_x = mg - N$

где $\text{m}$ – масса бруска, $a_x$ – его ускорение, которое равно ускорению платформы, пока брусок не отрывается от нее.

Найдем ускорение платформы как вторую производную от координаты по времени:

$x(t) = A \sin(\omega t)$

$v_x(t) = x'(t) = A\omega \cos(\omega t)$

$a_x(t) = v_x'(t) = -A\omega^2 \sin(\omega t)$

Подставим выражение для ускорения в уравнение второго закона Ньютона, чтобы найти силу реакции опоры $\text{N}$:

$m(-A\omega^2 \sin(\omega t)) = mg - N$

$N = mg + mA\omega^2 \sin(\omega t) = m(g + A\omega^2 \sin(\omega t))$

Брусок не отрывается от платформы, пока сила нормальной реакции опоры $\text{N}$ не станет равной нулю, то есть должно выполняться условие $N \ge 0$. Отрыв произойдет, когда $N = 0$.

Чтобы найти критическое условие, нужно рассмотреть момент, когда сила $\text{N}$ минимальна. Это происходит, когда значение $\sin(\omega t)$ минимально, то есть $\sin(\omega t) = -1$. Этот момент соответствует крайнему верхнему положению платформы ($x = -A$), где ее ускорение максимально и направлено вниз.

$N_{min} = m(g - A\omega^2)$

Условие, при котором брусок не отрывается, имеет вид $N_{min} \ge 0$:

$m(g - A\omega^2) \ge 0$

$g - A\omega^2 \ge 0$

$g \ge A\omega^2$

Отсюда следует, что максимальная циклическая частота определяется равенством:

$\omega^2 \le \frac{g}{A}$

$\omega_{max} = \sqrt{\frac{g}{A}}$

Подставим числовые значения:

$\omega_{max} = \sqrt{\frac{9.8 \text{ м/с}^2}{0.2 \text{ м}}} = \sqrt{49 \text{ с}^{-2}} = 7 \text{ рад/с}$

Ответ: наибольшая циклическая частота, при которой брусок не будет отрываться от платформы, равна $7 \text{ рад/с}$.