Номер 4.40, страница 90 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.40, страница 90.

Условие.

4.40. Материальная точка массой 50 г совершает колебания по закону $x = 10\cos 2t$ (см). Напишите уравнение зависимости от времени и постройте график:

а) кинетической энергии;

б) полной энергии точки.

Решение.

Дано:

Масса материальной точки: $m = 50 \text{ г}$

Уравнение колебаний: $x = 10 \cos(2t) \text{ (см)}$

Перевод в систему СИ:

$m = 50 \text{ г} = 0.05 \text{ кг}$

$x = 10 \cos(2t) \text{ см} = 0.1 \cos(2t) \text{ м}$

Найти:

а) Уравнение зависимости от времени и график кинетической энергии $E_k(t)$.

б) Уравнение зависимости от времени и график полной энергии $E(t)$.

Решение:

Общий вид уравнения гармонических колебаний: $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$, где $\text{A}$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая частота, $\phi_0$ — начальная фаза.

Сравнивая с заданным уравнением $x(t) = 0.1 \cos(2t)$, находим параметры движения:

Амплитуда: $A = 0.1 \text{ м}$

Циклическая частота: $\omega = 2 \text{ рад/с}$

Начальная фаза: $\phi_0 = 0$

а) кинетической энергии

Кинетическая энергия материальной точки вычисляется по формуле $E_k = \frac{mv^2}{2}$, где $\text{v}$ — скорость точки.

Скорость является первой производной от координаты по времени: $v(t) = x'(t)$.

$v(t) = \frac{d}{dt}(0.1 \cos(2t)) = -0.1 \cdot \sin(2t) \cdot 2 = -0.2 \sin(2t) \text{ (м/с)}$.

Подставим выражение для скорости в формулу кинетической энергии:

$E_k(t) = \frac{1}{2} m v^2(t) = \frac{1}{2} \cdot 0.05 \cdot (-0.2 \sin(2t))^2$

$E_k(t) = 0.025 \cdot (0.04 \sin^2(2t)) = 0.001 \sin^2(2t) \text{ (Дж)}$.

Для построения графика полезно использовать тригонометрическую формулу понижения степени $\sin^2(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$:

$E_k(t) = 0.001 \cdot \frac{1 - \cos(4t)}{2} = 0.0005(1 - \cos(4t)) \text{ (Дж)}$.

Из этого уравнения видно, что частота колебаний энергии $\omega_E = 4 \text{ рад/с}$ в два раза больше частоты колебаний точки. Период колебаний кинетической энергии $T_E = \frac{2\pi}{\omega_E} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ c.

График этой зависимости — кривая, колеблющаяся в пределах от 0 до максимального значения $E_{k,max} = 0.001 \text{ Дж}$. В момент времени $t=0$, когда смещение максимально, скорость равна нулю, и кинетическая энергия тоже равна нулю. Энергия достигает максимума, когда точка проходит положение равновесия (при $t = \pi/4, 3\pi/4, \dots$).

Ответ: Уравнение зависимости кинетической энергии от времени: $E_k(t) = 0.001 \sin^2(2t)$ Дж. График — синусоидальная кривая (типа $\sin^2$), колеблющаяся между 0 и 0.001 Дж с периодом $T_E = \pi/2$ с.

б) полной энергии

При отсутствии сил трения полная механическая энергия точки, совершающей гармонические колебания, сохраняется, то есть остается постоянной. Она равна сумме кинетической и потенциальной энергий, а также равна максимальной кинетической энергии (когда потенциальная энергия равна нулю) или максимальной потенциальной энергии (когда кинетическая энергия равна нулю).

$E = E_{k,max} = \frac{m v_{max}^2}{2}$.

Максимальная скорость $v_{max}$ достигается, когда $\sin(2t) = \pm 1$. Из уравнения для скорости $v(t) = -0.2 \sin(2t)$ находим $v_{max} = 0.2 \text{ м/с}$.

$E = \frac{0.05 \text{ кг} \cdot (0.2 \text{ м/с})^2}{2} = \frac{0.05 \cdot 0.04}{2} = 0.001 \text{ Дж}$.

Таким образом, полная энергия не зависит от времени:

$E(t) = 0.001 \text{ Дж} = \text{const}$.

График этой зависимости — прямая линия, параллельная оси времени $\text{t}$, проходящая через отметку $0.001$ на оси энергии $\text{E}$.

Ответ: Уравнение для полной энергии: $E = 0.001$ Дж. График — горизонтальная прямая на уровне $E=0.001$ Дж.