Номер 4.36, страница 90 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.36, страница 90.

Условие.

4.36. Масса колеблющегося тела 10 мг, частота колебаний 500 Гц, амплитуда 2 мм. Определите:

а) кинетическую энергию при прохождении положения равновесия;

б) потенциальную энергию при смещении, равном амплитуде;

в) полную механическую энергию.

Решение.

Дано:

Масса тела, $m = 10 \text{ мг} = 10 \cdot 10^{-6} \text{ кг} = 10^{-5} \text{ кг}$

Частота колебаний, $f = 500 \text{ Гц}$

Амплитуда колебаний, $A = 2 \text{ мм} = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

а) Кинетическую энергию при прохождении положения равновесия, $E_{k \text{ max}}$

б) Потенциальную энергию при смещении, равном амплитуде, $E_{p \text{ max}}$

в) Полную механическую энергию, $\text{E}$

Решение:

Полная механическая энергия $\text{E}$ колеблющегося тела при отсутствии сил трения сохраняется и равна сумме кинетической $E_k$ и потенциальной $E_p$ энергий:

$E = E_k + E_p$

Для гармонических колебаний полная энергия определяется по формуле:

$E = \frac{1}{2}m\omega^2A^2$

где $\text{m}$ – масса тела, $\omega$ – циклическая частота, $\text{A}$ – амплитуда колебаний.

Циклическая частота связана с линейной частотой $\text{f}$ соотношением: $\omega = 2\pi f$.

Вычислим циклическую частоту:

$\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 500 \text{ Гц} = 1000\pi \text{ рад/с}$

а) кинетическую энергию при прохождении положения равновесия

При прохождении положения равновесия ($x=0$) смещение тела равно нулю, поэтому его потенциальная энергия $E_p$ также равна нулю. В этот момент скорость тела максимальна, и, следовательно, кинетическая энергия $E_k$ достигает своего максимального значения. По закону сохранения энергии вся полная механическая энергия в этот момент представлена кинетической энергией:

$E_{k \text{ max}} = E = \frac{1}{2}m\omega^2A^2$

Подставим числовые значения:

$E_{k \text{ max}} = \frac{1}{2} \cdot 10^{-5} \text{ кг} \cdot (1000\pi \text{ рад/с})^2 \cdot (2 \cdot 10^{-3} \text{ м})^2 = \frac{1}{2} \cdot 10^{-5} \cdot 10^6\pi^2 \cdot 4 \cdot 10^{-6} = 2\pi^2 \cdot 10^{-5} \text{ Дж}$

Используя приближенное значение $\pi^2 \approx 9.87$, получаем:

$E_{k \text{ max}} \approx 2 \cdot 9.87 \cdot 10^{-5} \text{ Дж} \approx 19.74 \cdot 10^{-5} \text{ Дж} \approx 1.97 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$

Ответ: $E_{k \text{ max}} = 2\pi^2 \cdot 10^{-5} \text{ Дж} \approx 1.97 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$.

б) потенциальную энергию при смещении, равном амплитуде

В точках максимального смещения от положения равновесия, то есть при $x = \pm A$, скорость тела становится равной нулю ($v=0$). Следовательно, его кинетическая энергия $E_k$ в этих точках равна нулю. Потенциальная энергия $E_p$ при этом достигает своего максимального значения. По закону сохранения энергии вся полная механическая энергия в этот момент представлена потенциальной энергией:

$E_{p \text{ max}} = E = \frac{1}{2}m\omega^2A^2$

Эта величина равна максимальной кинетической энергии, найденной в предыдущем пункте:

$E_{p \text{ max}} = 2\pi^2 \cdot 10^{-5} \text{ Дж} \approx 1.97 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$

Ответ: $E_{p \text{ max}} = 2\pi^2 \cdot 10^{-5} \text{ Дж} \approx 1.97 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$.

в) полную механическую энергию

Полная механическая энергия гармонических колебаний постоянна и равна максимальному значению кинетической энергии (в положении равновесия) или максимальному значению потенциальной энергии (при максимальном смещении).

$E = E_{k \text{ max}} = E_{p \text{ max}} = \frac{1}{2}m\omega^2A^2$

Следовательно, полная механическая энергия равна значениям, вычисленным в пунктах а) и б):

$E = 2\pi^2 \cdot 10^{-5} \text{ Дж} \approx 1.97 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$

Ответ: $E = 2\pi^2 \cdot 10^{-5} \text{ Дж} \approx 1.97 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$.