Номер 4.31, страница 89 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.31, страница 89.

Условие.

4.31. Проекция импульса груза массой 31,4 г изменяется с течением времени в соответствии с графиком, показанным на рисунке 4.7. Определите амплитуду колебаний.

Рис. 4.7

Решение.

Дано:

$m = 31,4 \text{ г}$

Из графика:

Амплитуда проекции импульса $p_{max} = 0,04 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Период колебаний $T = 0,4 \text{ с}$

$m = 31,4 \text{ г} = 31,4 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0,0314 \text{ кг}$

Найти:

$\text{A}$

Решение:

Проекция импульса тела $p_x$ определяется как произведение массы тела $\text{m}$ на проекцию его скорости $v_x$:

$p_x = m v_x$

Амплитудное (максимальное) значение импульса $p_{max}$ связано с амплитудным значением скорости $v_{max}$ соотношением:

$p_{max} = m v_{max}$

Отсюда можно выразить амплитуду скорости:

$v_{max} = \frac{p_{max}}{m}$

При гармонических колебаниях амплитуда скорости $v_{max}$ связана с амплитудой смещения $\text{A}$ и циклической (круговой) частотой $\omega$:

$v_{max} = A \omega$

Циклическая частота, в свою очередь, связана с периодом колебаний $\text{T}$, который мы определяем по графику ($T = 0,4 \text{ с}$):

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Подставим выражение для $\omega$ в формулу для $v_{max}$:

$v_{max} = A \frac{2\pi}{T}$

Приравняем два полученных выражения для амплитуды скорости:

$\frac{p_{max}}{m} = A \frac{2\pi}{T}$

Из этого равенства выразим искомую амплитуду колебаний $\text{A}$:

$A = \frac{p_{max} T}{2\pi m}$

Подставим числовые значения из условия задачи и с графика:

$A = \frac{0,04 \text{ кг} \cdot \text{м/с} \cdot 0,4 \text{ с}}{2 \pi \cdot 0,0314 \text{ кг}}$

Заметим, что значение массы $m = 0,0314 \text{ кг}$ можно представить как $0,01 \cdot 3,14$. Это позволяет использовать приближение $\pi \approx 3,14$. Тогда $m \approx 0,01\pi \text{ кг}$.

$A \approx \frac{0,04 \cdot 0,4}{2 \pi \cdot 0,01 \pi} = \frac{0,016}{0,02 \pi^2} = \frac{0,8}{\pi^2}$

Используя приближенное значение $\pi^2 \approx 10$ (что часто предполагается в подобных задачах для упрощения расчетов):

$A \approx \frac{0,8}{10} = 0,08 \text{ м}$

Результат можно также выразить в сантиметрах: $0,08 \text{ м} = 8 \text{ см}$.

Ответ: $0,08 \text{ м}$.