Номер 4.27, страница 87 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.27, страница 87.

Условие.

4.27*. По графикам зависимости проекции ускорения тела от времени (рис. 4.5) напишите уравнение зависимости от времени и постройте график:

а) проекции скорости $v_x(t)$;

б) координаты $x(t)$.

Рис. 4.5

Решение.

Для графика а

Дано:

График зависимости $a_x(t)$.

Из графика: амплитуда ускорения $a_{max} = 0.4$ м/с², период колебаний $T=1$ с.

Найти:

а) Уравнение зависимости $v_x(t)$ и построить его график.

б) Уравнение зависимости $x(t)$ и построить его график.

Решение:

Движение тела является гармоническим колебанием. Уравнение для проекции ускорения при гармонических колебаниях имеет вид $a_x(t) = -A\omega^2 \cos(\omega t + \phi_0)$, где $\text{A}$ – амплитуда колебаний, $\omega$ – циклическая частота, $\phi_0$ – начальная фаза.

1. Определим параметры колебаний из графика $a_x(t)$.

Амплитудное значение ускорения $a_{max} = 0.4$ м/с².

Период колебаний $T = 1$ с.

Циклическая частота $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi$ рад/с.

В начальный момент времени $t=0$ проекция ускорения $a_x(0) = -0.4$ м/с², что является минимальным значением. Это соответствует крайнему положению с максимальным положительным смещением ($x=A$), так как $a_x = -\omega^2 x$. Уравнение для ускорения имеет вид $a_x(t) = -a_{max} \cos(\omega t)$.

Подставив значения, получим: $a_x(t) = -0.4 \cos(2\pi t)$ (м/с²).

2. Найдем амплитуду колебаний $\text{A}$ из формулы $a_{max} = A\omega^2$:

$A = \frac{a_{max}}{\omega^2} = \frac{0.4}{(2\pi)^2} = \frac{0.4}{4\pi^2} = \frac{0.1}{\pi^2}$ м.

а) проекции скорости $v_x(t)$

Скорость является первой производной от координаты по времени. Если координата изменяется по закону $x(t) = A \cos(\omega t)$, то скорость изменяется по закону $v_x(t) = x'(t) = -A\omega \sin(\omega t)$.

Подставим найденные значения $\text{A}$ и $\omega$:

$v_x(t) = -\frac{0.1}{\pi^2} \cdot 2\pi \sin(2\pi t) = -\frac{0.2}{\pi} \sin(2\pi t)$.

График $v_x(t)$ – это синусоида, отраженная относительно оси времени, с амплитудой $v_{max} = A\omega = \frac{0.2}{\pi}$ м/с и периодом $T=1$ с. В момент $t=0$ скорость $v_x=0$.

Ответ: $v_x(t) = -\frac{0.2}{\pi} \sin(2\pi t)$ (м/с).

б) координаты $x(t)$

Поскольку в начальный момент времени тело находилось в крайнем положении с максимальным положительным смещением (так как $a_x(0) = -a_{max}$), уравнение для координаты имеет вид $x(t) = A \cos(\omega t)$.

Подставим значения $\text{A}$ и $\omega$:

$x(t) = \frac{0.1}{\pi^2} \cos(2\pi t)$.

График $x(t)$ – это косинусоида с амплитудой $A = \frac{0.1}{\pi^2}$ м и периодом $T=1$ с. В момент $t=0$ координата $x = A$.

Ответ: $x(t) = \frac{0.1}{\pi^2} \cos(2\pi t)$ (м).

Для графика б

Дано:

График зависимости $a_x(t)$.

Из графика: амплитуда ускорения $a_{max} = 20$ м/с², период колебаний $T=0.2$ с.

Найти:

а) Уравнение зависимости $v_x(t)$ и построить его график.

б) Уравнение зависимости $x(t)$ и построить его график.

Решение:

1. Определим параметры колебаний из графика $a_x(t)$.

Амплитудное значение ускорения $a_{max} = 20$ м/с².

Период колебаний $T = 0.2$ с.

Циклическая частота $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.2} = 10\pi$ рад/с.

В начальный момент времени $t=0$ проекция ускорения $a_x(0) = 20$ м/с², что является максимальным значением. Это соответствует крайнему положению с максимальным отрицательным смещением ($x=-A$), так как $a_x = -\omega^2 x$. Уравнение для ускорения имеет вид $a_x(t) = a_{max} \cos(\omega t)$.

Подставив значения, получим: $a_x(t) = 20 \cos(10\pi t)$ (м/с²).

2. Найдем амплитуду колебаний $\text{A}$ из формулы $a_{max} = A\omega^2$:

$A = \frac{a_{max}}{\omega^2} = \frac{20}{(10\pi)^2} = \frac{20}{100\pi^2} = \frac{0.2}{\pi^2}$ м.

а) проекции скорости $v_x(t)$

Если координата изменяется по закону $x(t) = -A \cos(\omega t)$, то скорость изменяется по закону $v_x(t) = x'(t) = -(-A) \cdot \omega \sin(\omega t) = A\omega \sin(\omega t)$.

Подставим найденные значения $\text{A}$ и $\omega$:

$v_x(t) = \frac{0.2}{\pi^2} \cdot 10\pi \sin(10\pi t) = \frac{2}{\pi} \sin(10\pi t)$.

График $v_x(t)$ – это синусоида с амплитудой $v_{max} = A\omega = \frac{2}{\pi}$ м/с и периодом $T=0.2$ с. В момент $t=0$ скорость $v_x=0$.

Ответ: $v_x(t) = \frac{2}{\pi} \sin(10\pi t)$ (м/с).

б) координаты $x(t)$

Как было определено ранее, в начальный момент времени тело находилось в крайнем положении с максимальным отрицательным смещением. Уравнение для координаты имеет вид $x(t) = -A \cos(\omega t)$.

Подставим значения $\text{A}$ и $\omega$:

$x(t) = -\frac{0.2}{\pi^2} \cos(10\pi t)$.

График $x(t)$ – это косинусоида, отраженная относительно оси времени, с амплитудой $A = \frac{0.2}{\pi^2}$ м и периодом $T=0.2$ с. В момент $t=0$ координата $x=-A$.

Ответ: $x(t) = -\frac{0.2}{\pi^2} \cos(10\pi t)$ (м).