Номер 4.21, страница 87 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.21, страница 87.

Условие.

4.21. Координата материальной точки массой 5 г изменяется с течением времени по закону $x = 2 \sin (\pi t / 5 + \pi / 4)$ (см). Определите наибольшее значение:

а) импульса точки;

б) равнодействующей сил, приложенных к точке.

Решение.

Дано:

Масса материальной точки: $m = 5 \text{ г} = 5 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$
Закон изменения координаты: $x = 2\sin(\pi t/5 + \pi/4) \text{ (см)}$
Переводя в СИ, получаем:
Амплитуда: $A = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
Уравнение движения в СИ: $x(t) = 0.02\sin(\pi t/5 + \pi/4) \text{ (м)}$

Найти:

a) Наибольшее значение импульса точки ($p_{max}$)
б) Наибольшее значение равнодействующей сил ($F_{max}$)

Решение:

Движение материальной точки является гармоническим колебанием, которое описывается уравнением $x(t) = A\sin(\omega t + \phi_0)$. Сравнивая с данным в условии уравнением, находим параметры колебаний:
Амплитуда колебаний: $A = 0.02 \text{ м}$.
Циклическая (угловая) частота: $\omega = \pi/5 \text{ рад/с}$.
Начальная фаза: $\phi_0 = \pi/4 \text{ рад}$.

а) импульса точки

Импульс точки $\text{p}$ равен произведению ее массы $\text{m}$ на скорость $\text{v}$: $p = mv$. Наибольшее значение импульса $p_{max}$ будет при наибольшем значении скорости $v_{max}$.

Скорость $v(t)$ является первой производной от координаты $x(t)$ по времени $\text{t}$:
$v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt} (A\sin(\omega t + \phi_0)) = A\omega\cos(\omega t + \phi_0)$.

Максимальное значение скорости (амплитуда скорости) $v_{max}$ достигается, когда $\cos(\omega t + \phi_0)$ равен 1.
$v_{max} = A\omega$.

Вычислим $v_{max}$:
$v_{max} = 0.02 \text{ м} \cdot \frac{\pi}{5} \text{ рад/с} = 0.004\pi \text{ м/с}$.

Теперь определим наибольшее значение импульса:
$p_{max} = m \cdot v_{max} = (5 \cdot 10^{-3} \text{ кг}) \cdot (0.004\pi \text{ м/с}) = 20 \cdot 10^{-6}\pi \text{ кг}\cdot\text{м/с} = 2\pi \cdot 10^{-5} \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

Приближенное значение: $p_{max} \approx 2 \cdot 3.1416 \cdot 10^{-5} \approx 6.28 \cdot 10^{-5} \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

Ответ: $p_{max} = 2\pi \cdot 10^{-5} \text{ кг}\cdot\text{м/с} \approx 6.28 \cdot 10^{-5} \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

б) равнодействующей сил, приложенных к точке

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сил $\text{F}$, приложенных к точке, равна произведению массы $\text{m}$ на ускорение $\text{a}$: $F = ma$. Наибольшее значение силы $F_{max}$ будет при наибольшем значении ускорения $a_{max}$.

Ускорение $a(t)$ является второй производной от координаты $x(t)$ по времени $\text{t}$:
$a(t) = x''(t) = \frac{d}{dt} (A\omega\cos(\omega t + \phi_0)) = -A\omega^2\sin(\omega t + \phi_0)$.

Максимальное значение ускорения (амплитуда ускорения) $a_{max}$ достигается, когда $\sin(\omega t + \phi_0)$ равен $\pm1$.
$a_{max} = A\omega^2$.

Вычислим $a_{max}$:
$a_{max} = 0.02 \text{ м} \cdot (\frac{\pi}{5} \text{ рад/с})^2 = 0.02 \cdot \frac{\pi^2}{25} = 0.0008\pi^2 \text{ м/с}^2$.

Теперь определим наибольшее значение равнодействующей силы:
$F_{max} = m \cdot a_{max} = (5 \cdot 10^{-3} \text{ кг}) \cdot (0.0008\pi^2 \text{ м/с}^2) = 4 \cdot 10^{-6}\pi^2 \text{ Н}$.

Приближенное значение, учитывая $\pi^2 \approx 9.87$: $F_{max} \approx 4 \cdot 10^{-6} \cdot 9.87 \approx 39.48 \cdot 10^{-6} \text{ Н} \approx 3.95 \cdot 10^{-5} \text{ Н}$.

Ответ: $F_{max} = 4\pi^2 \cdot 10^{-6} \text{ Н} \approx 3.95 \cdot 10^{-5} \text{ Н}$.