Номер 4.19, страница 87 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.19, страница 87.

Условие.

4.19*. Колебания материальной точки описываются уравнением $x = 3\sin 2t + 4\cos 2t$ (см). Определите:

а) являются ли эти колебания гармоническими;

б) амплитуду колебаний.

Решение.

Дано:

Уравнение колебаний: $x = (3\sin(2t) + 4\cos(2t))$ см

Коэффициент при синусе $B = 3$ см

Коэффициент при косинусе $C = 4$ см

Перевод в систему СИ:

$B = 0.03$ м

$C = 0.04$ м

Уравнение в СИ: $x = (0.03\sin(2t) + 0.04\cos(2t))$ м

Найти:

а) Являются ли колебания гармоническими?

б) Амплитуду колебаний $\text{A}$.

Решение:

а) являются ли эти колебания гармоническими

Гармонические колебания описываются уравнением вида $x(t) = A\sin(\omega t + \phi_0)$ или $x(t) = A\cos(\omega t + \phi_0)$.

Заданное уравнение является суммой двух гармонических колебаний $x_1 = 3\sin(2t)$ и $x_2 = 4\cos(2t)$ с одинаковой циклической частотой $\omega = 2$ рад/с. Сложение гармонических колебаний одинаковой частоты всегда приводит к гармоническому колебанию той же частоты.

Для доказательства преобразуем исходное выражение с помощью метода введения вспомогательного угла. Общий вид выражения $a\sin(\alpha) + b\cos(\alpha)$ можно представить как $A\sin(\alpha + \phi_0)$, где амплитуда $A = \sqrt{a^2 + b^2}$.

В нашем случае $a=3$ и $b=4$. Вынесем за скобки множитель $A = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

$x = 5 \left(\frac{3}{5}\sin(2t) + \frac{4}{5}\cos(2t)\right)$

Введем вспомогательный угол $\phi_0$ такой, что $\cos(\phi_0) = \frac{3}{5}$ и $\sin(\phi_0) = \frac{4}{5}$.

Тогда уравнение примет вид:

$x = 5 (\cos(\phi_0)\sin(2t) + \sin(\phi_0)\cos(2t))$

Применяя тригонометрическую формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)$, получаем:

$x = 5\sin(2t + \phi_0)$

Это уравнение является уравнением гармонических колебаний с амплитудой $A=5$ см, циклической частотой $\omega=2$ рад/с и начальной фазой $\phi_0 = \arctan(4/3)$.

Ответ: да, данные колебания являются гармоническими.

б) амплитуду колебаний

Амплитуда колебаний, описываемых уравнением вида $x = a\sin(\omega t) + b\cos(\omega t)$, находится по формуле $A = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Коэффициенты в исходном уравнении: $a = 3$ см и $b = 4$ см.

Подставим эти значения в формулу для амплитуды:

$A = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: 5 см.