Номер 4.16, страница 86 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.16, страница 86.

Условие.

4.16. Амплитуда колебаний, совершаемых материальной точкой, равна 5 см, максимальная скорость 15,7 см/с. Вычислите смещение точки через 0,5 с после прохождения положения равновесия.

Решение.

Дано

Амплитуда колебаний $A = 5$ см

Максимальная скорость $v_{max} = 15,7$ см/с

Время $t = 0,5$ с

Перевод в систему СИ:

$A = 5 \cdot 10^{-2}$ м $= 0,05$ м

$v_{max} = 15,7 \cdot 10^{-2}$ м/с $= 0,157$ м/с

$t = 0,5$ с

Найти:

Смещение точки $\text{x}$

Решение

Движение материальной точки является гармоническим колебанием. Поскольку отсчет времени начинается с момента прохождения положения равновесия ($x=0$), уравнение движения можно записать в виде:

$x(t) = A \sin(\omega t)$

где $\text{A}$ – амплитуда колебаний, $\omega$ – циклическая (угловая) частота, $\text{t}$ – время.

Скорость точки $v(t)$ является производной от смещения $x(t)$ по времени:

$v(t) = x'(t) = A\omega \cos(\omega t)$

Максимальное значение скорости $v_{max}$ достигается, когда $\cos(\omega t)$ равен 1. Отсюда получаем связь между максимальной скоростью, амплитудой и циклической частотой:

$v_{max} = A\omega$

Выразим циклическую частоту $\omega$ из этой формулы и подставим данные из условия задачи:

$\omega = \frac{v_{max}}{A} = \frac{0,157 \text{ м/с}}{0,05 \text{ м}} = 3,14 \text{ рад/с}$

Полученное значение циклической частоты с высокой точностью совпадает со значением числа $\pi$. Таким образом, можно принять $\omega \approx \pi$ рад/с.

Теперь найдем смещение точки $\text{x}$ в момент времени $t = 0,5$ с, подставив все известные величины в уравнение смещения:

$x(0,5 \text{ с}) = A \sin(\omega t) = 0,05 \text{ м} \cdot \sin(3,14 \text{ рад/с} \cdot 0,5 \text{ с})$

$x(0,5 \text{ с}) = 0,05 \cdot \sin(1,57)$

Аргумент синуса $1,57$ в радианах приблизительно равен $\frac{\pi}{2}$.

Поскольку $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, то смещение точки будет равно амплитуде:

$x \approx 0,05 \cdot 1 = 0,05$ м

Переводя обратно в сантиметры, получаем 5 см.

Ответ: смещение точки равно 5 см.