Номер 4.11, страница 86 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.11, страница 86.

Условие.

4.11. Проекция ускорения материальной точки изменяется с течением времени по закону $a_x = 27\cos 3t$ (см/с$^2$). Запишите уравнение зависимости от времени:

а) проекции скорости;

б) координаты.

Решение.

Дано:

Проекция ускорения материальной точки изменяется со временем по закону: $a_x(t) = 27\cos(3t)$ (см/с²).

Перевод в систему СИ:

$a_x(t) = 27 \cdot 10^{-2} \cos(3t) \text{ м/с²} = 0.27\cos(3t) \text{ м/с²}$.

Найти:

а) Уравнение зависимости от времени проекции скорости $v_x(t)$.

б) Уравнение зависимости от времени координаты $x(t)$.

Решение:

Поскольку в задаче не указаны начальные условия (скорость и координата в момент времени $t=0$), будем считать их произвольными константами $v_{x0}$ и $x_0$ соответственно. Расчеты будем проводить в исходной системе единиц (см, с).

а) проекции скорости

Проекция ускорения является производной от проекции скорости по времени: $a_x(t) = \frac{dv_x(t)}{dt}$. Чтобы найти зависимость скорости от времени, необходимо найти первообразную для функции ускорения, то есть проинтегрировать ее по времени $\text{t}$.

$v_x(t) = \int a_x(t) dt = \int 27\cos(3t) dt$

Вычисляем интеграл:

$v_x(t) = 27 \cdot \frac{1}{3}\sin(3t) + C_1 = 9\sin(3t) + C_1$

Константа интегрирования $C_1$ есть не что иное, как значение проекции скорости в начальный момент времени $t=0$, то есть $C_1 = v_{x0}$.

Таким образом, уравнение для проекции скорости имеет вид:

$v_x(t) = 9\sin(3t) + v_{x0}$ (см/с)

Ответ: $v_x(t) = 9\sin(3t) + v_{x0}$ (см/с), где $v_{x0}$ — проекция начальной скорости.

б) координаты

Проекция скорости является производной от координаты по времени: $v_x(t) = \frac{dx(t)}{dt}$. Чтобы найти зависимость координаты от времени, необходимо проинтегрировать по времени полученное выражение для проекции скорости.

$x(t) = \int v_x(t) dt = \int (9\sin(3t) + v_{x0}) dt$

Вычисляем интеграл, разбивая его на два:

$x(t) = \int 9\sin(3t) dt + \int v_{x0} dt = 9 \cdot \left(-\frac{\cos(3t)}{3}\right) + v_{x0}t + C_2$

$x(t) = -3\cos(3t) + v_{x0}t + C_2$

Константа интегрирования $C_2$ — это значение координаты в начальный момент времени $t=0$, то есть $C_2 = x_0$.

Таким образом, уравнение для координаты имеет вид:

$x(t) = -3\cos(3t) + v_{x0}t + x_0$ (см)

Ответ: $x(t) = -3\cos(3t) + v_{x0}t + x_0$ (см), где $x_0$ — начальная координата, а $v_{x0}$ — проекция начальной скорости.