Номер 4.18, страница 87 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.18, страница 87.

Условие.

4.18. Координаты двух маятников изменяются с течением времени по законам: $x_1 = 6\sin 2t$ (см) и $x_2 = 3\cos 2t$ (см).

а) Определите разность амплитуд колебаний.

б) Определите разность фаз колебаний.

в) Постройте векторные диаграммы.

Решение.

Дано:

$x_1 = 6 \sin(2t)$ (см)

$x_2 = 3 \cos(2t)$ (см)

Перевод в систему СИ:

Амплитуда первого маятника: $A_1 = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Амплитуда второго маятника: $A_2 = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Уравнения в СИ:

$x_1 = 0.06 \sin(2t)$ (м)

$x_2 = 0.03 \cos(2t)$ (м)

Найти:

а) Разность амплитуд $\Delta A$

б) Разность фаз $\Delta \varphi$

в) Построить векторные диаграммы

Решение:

а) Определите разность амплитуд колебаний.

Уравнение гармонического колебания в общем виде записывается как $x(t) = A \sin(\omega t + \varphi_0)$ или $x(t) = A \cos(\omega t + \varphi_0)$, где $\text{A}$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая частота, а $\varphi_0$ — начальная фаза.

Из уравнения для первого маятника $x_1 = 6 \sin(2t)$ (см) следует, что его амплитуда $A_1 = 6$ см.

Из уравнения для второго маятника $x_2 = 3 \cos(2t)$ (см) следует, что его амплитуда $A_2 = 3$ см.

Разность амплитуд колебаний равна:

$\Delta A = A_1 - A_2 = 6 \text{ см} - 3 \text{ см} = 3 \text{ см}$

В системе СИ:

$\Delta A = 0.06 \text{ м} - 0.03 \text{ м} = 0.03 \text{ м}$

Ответ: Разность амплитуд составляет 3 см (или 0.03 м).

б) Определите разность фаз колебаний.

Для определения разности фаз необходимо привести оба уравнения к одной тригонометрической функции (синусу или косинусу). Воспользуемся формулой приведения $\cos(\alpha) = \sin(\alpha + \pi/2)$.

Преобразуем уравнение для второго маятника:

$x_2 = 3 \cos(2t) = 3 \sin(2t + \pi/2)$ (см)

Теперь оба уравнения имеют вид $x(t) = A \sin(\omega t + \varphi_0)$:

$x_1 = 6 \sin(2t)$

$x_2 = 3 \sin(2t + \pi/2)$

Полная фаза первого колебания $\Phi_1 = 2t$, следовательно, его начальная фаза $\varphi_1 = 0$.

Полная фаза второго колебания $\Phi_2 = 2t + \pi/2$, следовательно, его начальная фаза $\varphi_2 = \pi/2$.

Разность фаз $\Delta \varphi$ равна разности начальных фаз:

$\Delta \varphi = \varphi_2 - \varphi_1 = \pi/2 - 0 = \pi/2$ рад.

Это означает, что второе колебание опережает первое по фазе на $\pi/2$.

Ответ: Разность фаз колебаний равна $\pi/2$ рад.

в) Постройте векторные диаграммы.

Векторная диаграмма представляет гармоническое колебание в виде вектора (фазора), который вращается с угловой скоростью $\omega$. Длина вектора равна амплитуде колебания $\text{A}$, а угол, который он образует с положительным направлением оси абсцисс в начальный момент времени ($t=0$), равен начальной фазе $\varphi_0$. Проекция этого вращающегося вектора на соответствующую ось дает мгновенное значение колеблющейся величины.

Чтобы построить диаграмму, приведем оба уравнения к функции косинуса, так как проекция на ось абсцисс (ось х) традиционно связывается с координатой $\text{x}$. Используем формулу $\sin(\alpha) = \cos(\alpha - \pi/2)$:

$x_1 = 6 \sin(2t) = 6 \cos(2t - \pi/2)$

$x_2 = 3 \cos(2t) = 3 \cos(2t + 0)$

Для первого колебания ($x_1$):

Амплитуда $A_1 = 6$ ед. Начальная фаза $\varphi_1 = -\pi/2$ рад. В начальный момент времени ($t=0$) вектор $\vec{A_1}$ имеет длину 6 единиц и направлен вертикально вниз (под углом $-\pi/2$ к оси абсцисс).

Для второго колебания ($x_2$):

Амплитуда $A_2 = 3$ ед. Начальная фаза $\varphi_2 = 0$ рад. В начальный момент времени ($t=0$) вектор $\vec{A_2}$ имеет длину 3 единицы и направлен горизонтально вправо (вдоль оси абсцисс).

Оба вектора вращаются против часовой стрелки с одинаковой угловой скоростью $\omega = 2$ рад/с. Угол между векторами постоянен и равен разности фаз $\Delta \varphi = \varphi_2 - \varphi_1 = 0 - (-\pi/2) = \pi/2$ рад. Это означает, что вектор $\vec{A_2}$ опережает вектор $\vec{A_1}$ на $90^\circ$.

Ответ: Векторная диаграмма состоит из двух векторов, исходящих из начала координат. В момент $t=0$ вектор, соответствующий первому колебанию, имеет длину 6 ед. и направлен вдоль отрицательной оси ординат. Вектор, соответствующий второму колебанию, имеет длину 3 ед. и направлен вдоль положительной оси абсцисс. Оба вектора вращаются против часовой стрелки с угловой скоростью 2 рад/с, сохраняя между собой угол $\pi/2$.