Номер 4.14, страница 86 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.14, страница 86.

Условие.

4.14. Амплитуду колеблющегося тела увеличили в 4 раза. Во сколько раз изменятся амплитудные значения:

а) скорости;

б) ускорения?

Решение.

Дано:

Пусть начальная амплитуда колебаний тела – $A_1$.
Конечная амплитуда колебаний тела – $A_2$.
По условию задачи $A_2 = 4A_1$.
Частота колебаний $\omega$ остается постоянной, так как она определяется свойствами колеблющейся системы, а не амплитудой.

Найти:

Отношение амплитудных значений скорости: $\frac{v_{max2}}{v_{max1}}$
Отношение амплитудных значений ускорения: $\frac{a_{max2}}{a_{max1}}$

Решение:

Уравнение гармонических колебаний для смещения тела от положения равновесия имеет вид:
$x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$
где $\text{A}$ – амплитуда колебаний, $\omega$ – циклическая частота, $\text{t}$ – время, $\phi_0$ – начальная фаза.

Скорость тела является первой производной от смещения по времени:
$v(t) = x'(t) = (A \sin(\omega t + \phi_0))' = A\omega \cos(\omega t + \phi_0)$
Амплитудное (максимальное) значение скорости достигается, когда $\cos(\omega t + \phi_0) = \pm 1$. Таким образом, амплитуда скорости:
$v_{max} = A\omega$

Ускорение тела является первой производной от скорости по времени (или второй производной от смещения):
$a(t) = v'(t) = (A\omega \cos(\omega t + \phi_0))' = -A\omega^2 \sin(\omega t + \phi_0)$
Амплитудное (максимальное) значение ускорения достигается, когда $\sin(\omega t + \phi_0) = \pm 1$. Таким образом, амплитуда ускорения:
$a_{max} = A\omega^2$

а) скорости

Найдем отношение амплитудных значений скорости до и после увеличения амплитуды смещения.
Начальная амплитуда скорости: $v_{max1} = A_1\omega$
Конечная амплитуда скорости: $v_{max2} = A_2\omega$
Найдем их отношение, подставив $A_2 = 4A_1$:
$\frac{v_{max2}}{v_{max1}} = \frac{A_2\omega}{A_1\omega} = \frac{4A_1\omega}{A_1\omega} = 4$
Следовательно, амплитудное значение скорости увеличится в 4 раза.
Ответ: Амплитудное значение скорости увеличится в 4 раза.

б) ускорения

Найдем отношение амплитудных значений ускорения до и после увеличения амплитуды смещения.
Начальная амплитуда ускорения: $a_{max1} = A_1\omega^2$
Конечная амплитуда ускорения: $a_{max2} = A_2\omega^2$
Найдем их отношение, подставив $A_2 = 4A_1$:
$\frac{a_{max2}}{a_{max1}} = \frac{A_2\omega^2}{A_1\omega^2} = \frac{4A_1\omega^2}{A_1\omega^2} = 4$
Следовательно, амплитудное значение ускорения увеличится в 4 раза.
Ответ: Амплитудное значение ускорения увеличится в 4 раза.