Номер 4.20, страница 87 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.20, страница 87.

Условие.

4.20. Координата колеблющегося тела массой 100 г изменяется по закону $x = 2,5 \cos 4t$ (см). Определите наибольшее значение:

а) импульса тела;

б) равнодействующей сил, приложенных к телу.

Решение.

Дано:

$m = 100 \text{ г}$

$x = 2,5\cos(4t) \text{ (см)}$

Переведем данные в систему СИ:

$m = 100 \text{ г} = 0,1 \text{ кг}$

Уравнение колебаний в общем виде: $x = A\cos(\omega t)$, где $\text{A}$ – амплитуда, $\omega$ – циклическая частота. Из данного уравнения находим:

$A = 2,5 \text{ см} = 0,025 \text{ м}$

$\omega = 4 \text{ рад/с}$

Найти:

а) $p_{max} - ?$

б) $F_{max} - ?$

Решение:

а) импульса тела

Импульс тела определяется по формуле $p = mv$, где $\text{m}$ – масса тела, а $\text{v}$ – его скорость. Чтобы найти скорость, нужно взять производную от координаты по времени: $v(t) = x'(t)$.

$v(t) = (A\cos(\omega t))' = -A\omega\sin(\omega t)$

Наибольшее значение импульса (амплитуда импульса) будет тогда, когда скорость будет максимальной. Максимальное значение скорости (амплитуда скорости) достигается, когда $|\sin(\omega t)| = 1$.

$v_{max} = A\omega$

Следовательно, наибольшее значение импульса равно:

$p_{max} = m \cdot v_{max} = m A \omega$

Подставим числовые значения:

$p_{max} = 0,1 \text{ кг} \cdot 0,025 \text{ м} \cdot 4 \text{ рад/с} = 0,01 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Ответ: $p_{max} = 0,01 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

б) равнодействующей сил, приложенных к телу

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сил $F = ma$, где $\text{a}$ – ускорение тела. Чтобы найти ускорение, нужно взять производную от скорости по времени: $a(t) = v'(t)$.

$a(t) = (-A\omega\sin(\omega t))' = -A\omega^2\cos(\omega t)$

Наибольшее значение силы (амплитуда силы) будет тогда, когда ускорение будет максимальным. Максимальное значение ускорения (амплитуда ускорения) достигается, когда $|\cos(\omega t)| = 1$.

$a_{max} = A\omega^2$

Следовательно, наибольшее значение равнодействующей силы равно:

$F_{max} = m \cdot a_{max} = m A \omega^2$

Подставим числовые значения:

$F_{max} = 0,1 \text{ кг} \cdot 0,025 \text{ м} \cdot (4 \text{ рад/с})^2 = 0,1 \cdot 0,025 \cdot 16 = 0,04 \text{ Н}$

Ответ: $F_{max} = 0,04 \text{ Н}$