Номер 4.25, страница 87 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.25, страница 87.

Условие.

4.25. По графикам, приведённым на рисунке 4.3, запишите уравнения зависимости от времени:

а) координаты тела $x(t)$;

б) проекции скорости $v_x(t)$;

в) проекции ускорения $a_x(t)$.

Рис. 4.3

Решение.

График а

Дано:

Из графика определяем:

Амплитуда $A = 0.1$ м.

Период $T = 0.2$ с.

Найти:

а) Уравнение координаты $x(t)$.

б) Уравнение проекции скорости $v_x(t)$.

в) Уравнение проекции ускорения $a_x(t)$.

Решение:

Движение тела представляет собой гармоническое колебание. Общий вид уравнения координаты: $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$.

1. Вычисляем циклическую частоту $\omega$:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.2 \text{ с}} = 10\pi$ рад/с.

2. Определяем начальную фазу $\phi_0$. В начальный момент времени $t=0$ координата тела максимальна и равна амплитуде ($x(0) = A$), следовательно, колебания происходят по закону косинуса, а начальная фаза $\phi_0 = 0$.

а) Уравнение координаты тела x(t)

Подставляем значения $\text{A}$ и $\omega$ в уравнение:

$x(t) = 0.1 \cos(10\pi t)$ (м).

Ответ: $x(t) = 0.1 \cos(10\pi t)$ (м).

б) Уравнение проекции скорости vₓ(t)

Проекция скорости — это первая производная от координаты по времени: $v_x(t) = x'(t)$.

$v_x(t) = (0.1 \cos(10\pi t))' = -0.1 \cdot 10\pi \sin(10\pi t) = -\pi \sin(10\pi t)$ (м/с).

Ответ: $v_x(t) = -\pi \sin(10\pi t)$ (м/с).

в) Уравнение проекции ускорения aₓ(t)

Проекция ускорения — это первая производная от скорости по времени: $a_x(t) = v_x'(t)$.

$a_x(t) = (-\pi \sin(10\pi t))' = -\pi \cdot 10\pi \cos(10\pi t) = -10\pi^2 \cos(10\pi t)$ (м/с²).

Ответ: $a_x(t) = -10\pi^2 \cos(10\pi t)$ (м/с²).

---

График б

Дано:

Из графика определяем:

Амплитуда $A = 5$ см.

Период $T = 2$ с.

Перевод в СИ:

$A = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$.

Найти:

а) Уравнение координаты $x(t)$.

б) Уравнение проекции скорости $v_x(t)$.

в) Уравнение проекции ускорения $a_x(t)$.

Решение:

Движение тела представляет собой гармоническое колебание. Общий вид уравнения координаты: $x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$.

1. Вычисляем циклическую частоту $\omega$:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2 \text{ с}} = \pi$ рад/с.

2. Определяем начальную фазу $\phi_0$. В начальный момент времени $t=0$ координата тела равна нулю ($x(0) = 0$), и тело движется в положительном направлении оси X (график идет вверх). Это соответствует колебаниям по закону синуса с начальной фазой $\phi_0 = 0$.

а) Уравнение координаты тела x(t)

Подставляем значения $\text{A}$ и $\omega$ в уравнение:

$x(t) = 0.05 \sin(\pi t)$ (м).

Ответ: $x(t) = 0.05 \sin(\pi t)$ (м).

б) Уравнение проекции скорости vₓ(t)

Проекция скорости: $v_x(t) = x'(t)$.

$v_x(t) = (0.05 \sin(\pi t))' = 0.05 \cdot \pi \cos(\pi t) = 0.05\pi \cos(\pi t)$ (м/с).

Ответ: $v_x(t) = 0.05\pi \cos(\pi t)$ (м/с).

в) Уравнение проекции ускорения aₓ(t)

Проекция ускорения: $a_x(t) = v_x'(t)$.

$a_x(t) = (0.05\pi \cos(\pi t))' = -0.05\pi \cdot \pi \sin(\pi t) = -0.05\pi^2 \sin(\pi t)$ (м/с²).

Ответ: $a_x(t) = -0.05\pi^2 \sin(\pi t)$ (м/с²).

---

График в

Дано:

Из графика определяем:

Амплитуда $A = 0.1$ м.

Период $T = 0.2$ с.

Найти:

а) Уравнение координаты $x(t)$.

б) Уравнение проекции скорости $v_x(t)$.

в) Уравнение проекции ускорения $a_x(t)$.

Решение:

Движение тела представляет собой гармоническое колебание. Общий вид уравнения координаты: $x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$.

1. Вычисляем циклическую частоту $\omega$:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.2 \text{ с}} = 10\pi$ рад/с.

2. Определяем начальную фазу $\phi_0$. В начальный момент времени $t=0$ координата тела равна нулю ($x(0) = 0$), и тело движется в положительном направлении оси X. Это соответствует колебаниям по закону синуса с начальной фазой $\phi_0 = 0$.

а) Уравнение координаты тела x(t)

Подставляем значения $\text{A}$ и $\omega$ в уравнение:

$x(t) = 0.1 \sin(10\pi t)$ (м).

Ответ: $x(t) = 0.1 \sin(10\pi t)$ (м).

б) Уравнение проекции скорости vₓ(t)

Проекция скорости: $v_x(t) = x'(t)$.

$v_x(t) = (0.1 \sin(10\pi t))' = 0.1 \cdot 10\pi \cos(10\pi t) = \pi \cos(10\pi t)$ (м/с).

Ответ: $v_x(t) = \pi \cos(10\pi t)$ (м/с).

в) Уравнение проекции ускорения aₓ(t)

Проекция ускорения: $a_x(t) = v_x'(t)$.

$a_x(t) = (\pi \cos(10\pi t))' = -\pi \cdot 10\pi \sin(10\pi t) = -10\pi^2 \sin(10\pi t)$ (м/с²).

Ответ: $a_x(t) = -10\pi^2 \sin(10\pi t)$ (м/с²).

---

График г

Дано:

Из графика определяем:

Амплитуда $A = 10$ мм.

Период $T = 4$ с.

Перевод в СИ:

$A = 10 \text{ мм} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

а) Уравнение координаты $x(t)$.

б) Уравнение проекции скорости $v_x(t)$.

в) Уравнение проекции ускорения $a_x(t)$.

Решение:

Движение тела представляет собой гармоническое колебание. Общий вид уравнения координаты: $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$.

1. Вычисляем циклическую частоту $\omega$:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4 \text{ с}} = \frac{\pi}{2}$ рад/с.

2. Определяем начальную фазу $\phi_0$. В начальный момент времени $t=0$ координата тела максимальна ($x(0) = A$), следовательно, колебания происходят по закону косинуса, а начальная фаза $\phi_0 = 0$.

а) Уравнение координаты тела x(t)

Подставляем значения $\text{A}$ и $\omega$ в уравнение:

$x(t) = 0.01 \cos(\frac{\pi}{2} t)$ (м).

Ответ: $x(t) = 0.01 \cos(\frac{\pi}{2} t)$ (м).

б) Уравнение проекции скорости vₓ(t)

Проекция скорости: $v_x(t) = x'(t)$.

$v_x(t) = (0.01 \cos(\frac{\pi}{2} t))' = -0.01 \cdot \frac{\pi}{2} \sin(\frac{\pi}{2} t) = -0.005\pi \sin(\frac{\pi}{2} t)$ (м/с).

Ответ: $v_x(t) = -0.005\pi \sin(\frac{\pi}{2} t)$ (м/с).

в) Уравнение проекции ускорения aₓ(t)

Проекция ускорения: $a_x(t) = v_x'(t)$.

$a_x(t) = (-0.005\pi \sin(\frac{\pi}{2} t))' = -0.005\pi \cdot \frac{\pi}{2} \cos(\frac{\pi}{2} t) = -0.0025\pi^2 \cos(\frac{\pi}{2} t)$ (м/с²).

Ответ: $a_x(t) = -0.0025\pi^2 \cos(\frac{\pi}{2} t)$ (м/с²).

---

График д

Дано:

Из графика определяем:

Максимальное смещение $x_{max} = 16$ мм.

Минимальное смещение $x_{min} = 4$ мм.

Период $T = 5 \text{ с} - 1 \text{ с} = 4$ с.

Перевод в СИ:

$x_{max} = 16 \text{ мм} = 0.016 \text{ м}$.

$x_{min} = 4 \text{ мм} = 0.004 \text{ м}$.

Найти:

а) Уравнение координаты $x(t)$.

б) Уравнение проекции скорости $v_x(t)$.

в) Уравнение проекции ускорения $a_x(t)$.

Решение:

Данное колебание происходит не относительно начала координат. Общий вид уравнения: $x(t) = x_0 + A \cos(\omega t + \phi_0)$, где $x_0$ – положение равновесия.

1. Находим положение равновесия $x_0$ и амплитуду $\text{A}$:

$x_0 = \frac{x_{max} + x_{min}}{2} = \frac{0.016 + 0.004}{2} = 0.01$ м.

$A = \frac{x_{max} - x_{min}}{2} = \frac{0.016 - 0.004}{2} = 0.006$ м.

2. Находим циклическую частоту $\omega$:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4 \text{ с}} = \frac{\pi}{2}$ рад/с.

3. Определяем начальную фазу $\phi_0$. В момент времени $t=0$ тело находится в положении равновесия ($x(0) = 10 \text{ мм} = x_0$) и движется в положительном направлении. Это соответствует колебаниям по закону синуса с нулевой начальной фазой. Поэтому уравнение движения примет вид $x(t) = x_0 + A \sin(\omega t)$.

а) Уравнение координаты тела x(t)

Подставляем найденные значения:

$x(t) = 0.01 + 0.006 \sin(\frac{\pi}{2} t)$ (м).

Ответ: $x(t) = 0.01 + 0.006 \sin(\frac{\pi}{2} t)$ (м).

б) Уравнение проекции скорости vₓ(t)

Проекция скорости $v_x(t) = x'(t)$:

$v_x(t) = (0.01 + 0.006 \sin(\frac{\pi}{2} t))' = 0.006 \cdot \frac{\pi}{2} \cos(\frac{\pi}{2} t) = 0.003\pi \cos(\frac{\pi}{2} t)$ (м/с).

Ответ: $v_x(t) = 0.003\pi \cos(\frac{\pi}{2} t)$ (м/с).

в) Уравнение проекции ускорения aₓ(t)

Проекция ускорения $a_x(t) = v_x'(t)$:

$a_x(t) = (0.003\pi \cos(\frac{\pi}{2} t))' = -0.003\pi \cdot \frac{\pi}{2} \sin(\frac{\pi}{2} t) = -0.0015\pi^2 \sin(\frac{\pi}{2} t)$ (м/с²).

Ответ: $a_x(t) = -0.0015\pi^2 \sin(\frac{\pi}{2} t)$ (м/с²).