Номер 4.32, страница 89 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.32, страница 89.

Условие.

4.32*. Тело совершает гармонические колебания с начальной фазой, равной нулю. Найдите период колебаний, если через 0,5 с после начала колебаний смещение тела от положения равновесия впервые становится равным половине амплитудного значения.

Решение.

Дано:

Начальная фаза колебаний: $\phi_0 = 0$
Время: $t = 0,5$ с
Смещение в момент времени $\text{t}$: $x(t) = \frac{A}{2}$

Найти:

Период колебаний $\text{T}$.

Решение:

Уравнение гармонических колебаний имеет вид:$x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$,где $x(t)$ — смещение тела от положения равновесия в момент времени $\text{t}$, $\text{A}$ — амплитуда колебаний, $\omega$ — циклическая частота, а $\phi_0$ — начальная фаза.

Согласно условию задачи, начальная фаза равна нулю ($\phi_0 = 0$). Это означает, что колебания начинаются с максимального отклонения от положения равновесия. Уравнение движения принимает вид:$x(t) = A \cos(\omega t)$

По условию, в момент времени $t = 0,5$ с смещение тела впервые становится равным половине амплитудного значения, то есть $x(0,5) = A/2$. Подставим эти данные в уравнение колебаний:$\frac{A}{2} = A \cos(\omega \cdot 0,5)$

Разделив обе части уравнения на амплитуду $\text{A}$, получим:$\frac{1}{2} = \cos(0,5\omega)$

Косинус равен $1/2$ при значении аргумента $\pi/3, 5\pi/3, ...$. Так как нас интересует момент, когда смещение впервые достигает этого значения, мы берем наименьшее положительное значение аргумента. Таким образом, фаза колебаний в этот момент равна:$0,5\omega = \frac{\pi}{3}$

Из этого соотношения выразим циклическую частоту $\omega$:$\omega = \frac{\pi/3}{0,5} = \frac{2\pi}{3}$ рад/с

Циклическая частота связана с периодом колебаний $\text{T}$ формулой:$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Отсюда найдем период $\text{T}$:$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{2\pi/3} = 3$ с

Ответ: период колебаний равен 3 с.