Номер 4.35, страница 90 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.35, страница 90.

Условие.

4.35. Какую часть периода $\text{T}$ тело, совершающее гармонические колебания, находится в пределах 1 см от положения равновесия, если амплитуда колебаний 2 см?

Решение.

Дано:

Амплитуда колебаний, $A = 2$ см

Пределы нахождения тела от положения равновесия, $|x| \le 1$ см

Перевод в систему СИ:

$A = 0.02$ м

$|x| \le 0.01$ м

Найти:

Какую часть периода $\text{T}$ тело находится в заданных пределах, то есть найти отношение $\frac{\Delta t}{T}$.

Решение:

Уравнение гармонических колебаний можно записать в виде $x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$, где $x(t)$ — смещение тела от положения равновесия в момент времени $\text{t}$, $\text{A}$ — амплитуда колебаний, $\omega$ — циклическая частота, $\phi_0$ — начальная фаза. Для удобства выберем начальную фазу $\phi_0=0$, что соответствует началу отсчета времени с момента прохождения телом положения равновесия. Тогда уравнение примет вид:

$x(t) = A \sin(\omega t)$

Циклическая частота связана с периодом колебаний $\text{T}$ соотношением $\omega = \frac{2\pi}{T}$.

Таким образом, уравнение движения тела: $x(t) = A \sin(\frac{2\pi}{T}t)$.

По условию задачи, тело находится в пределах 1 см от положения равновесия, то есть его координата $\text{x}$ удовлетворяет неравенству:

$|x(t)| \le 1$ см

Подставим в это неравенство уравнение движения и значение амплитуды:

$|A \sin(\frac{2\pi}{T}t)| \le 1$

$|2 \sin(\frac{2\pi}{T}t)| \le 1$

$|\sin(\frac{2\pi}{T}t)| \le \frac{1}{2}$

Это двойное неравенство: $-\frac{1}{2} \le \sin(\frac{2\pi}{T}t) \le \frac{1}{2}$.

Найдем время $t_1$, за которое тело, двигаясь из положения равновесия ($x=0$), достигнет границы указанной области ($x=1$ см).

$1 = 2 \sin(\frac{2\pi}{T}t_1)$

$\sin(\frac{2\pi}{T}t_1) = \frac{1}{2}$

Фаза колебаний $\frac{2\pi}{T}t_1$ должна быть равна арксинусу от 1/2. Берем наименьшее положительное значение:

$\frac{2\pi}{T}t_1 = \arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$

Отсюда выразим время $t_1$:

$t_1 = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{T}{2\pi} = \frac{T}{12}$

Это время, за которое тело смещается из положения равновесия до $x=1$ см. В течение одного полного периода $\text{T}$ тело проходит через область $|x| \le 1$ см четыре раза. Движение гармоническое, поэтому оно симметрично относительно положения равновесия и точек максимального отклонения.

1. От $x=0$ до $x=1$ см. Время движения: $t_1 = \frac{T}{12}$.

2. От $x=1$ см обратно до $x=0$. Время движения: $t_1 = \frac{T}{12}$.

3. От $x=0$ до $x=-1$ см. Время движения: $t_1 = \frac{T}{12}$.

4. От $x=-1$ см обратно до $x=0$. Время движения: $t_1 = \frac{T}{12}$.

Суммарное время $\Delta t$, которое тело находится в пределах 1 см от положения равновесия за один период, равно:

$\Delta t = 4 \cdot t_1 = 4 \cdot \frac{T}{12} = \frac{T}{3}$

Таким образом, искомая часть периода составляет:

$\frac{\Delta t}{T} = \frac{T/3}{T} = \frac{1}{3}$

Ответ: тело находится в пределах 1 см от положения равновесия в течение 1/3 своего периода $\text{T}$.