Номер 4.37, страница 90 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.37, страница 90.

Условие.

4.37. Материальная точка совершает колебания. Во сколько раз изменится максимальная кинетическая энергия точки при увеличении амплитуды колебаний в 2 раза?

Решение.

Дано:

$A_2 = 2A_1$, где $A_1$ – начальная амплитуда колебаний, $A_2$ – конечная амплитуда колебаний.

Найти:

$\frac{K_{max2}}{K_{max1}}$ – отношение конечной максимальной кинетической энергии к начальной.

Решение:

Максимальная кинетическая энергия материальной точки при колебаниях достигается в момент прохождения положения равновесия, когда ее скорость максимальна. Формула для максимальной кинетической энергии $K_{max}$ имеет вид:

$K_{max} = \frac{m v_{max}^2}{2}$

где $\text{m}$ – масса точки, а $v_{max}$ – её максимальная скорость.

Максимальная скорость при гармонических колебаниях связана с амплитудой колебаний $\text{A}$ и циклической частотой $\omega$ следующим соотношением:

$v_{max} = A \cdot \omega$

Подставив выражение для максимальной скорости в формулу для максимальной кинетической энергии, получим:

$K_{max} = \frac{m (A \omega)^2}{2} = \frac{m \omega^2 A^2}{2}$

Из этой формулы видно, что максимальная кинетическая энергия прямо пропорциональна квадрату амплитуды колебаний ($K_{max} \propto A^2$), так как масса $\text{m}$ и циклическая частота $\omega$ (зависящая от свойств колеблющейся системы) остаются постоянными.

Запишем отношение максимальной кинетической энергии после увеличения амплитуды ($K_{max2}$) к начальной максимальной кинетической энергии ($K_{max1}$):

$\frac{K_{max2}}{K_{max1}} = \frac{\frac{m \omega^2 A_2^2}{2}}{\frac{m \omega^2 A_1^2}{2}} = \frac{A_2^2}{A_1^2} = (\frac{A_2}{A_1})^2$

Согласно условию задачи, амплитуда увеличилась в 2 раза, то есть $\frac{A_2}{A_1} = 2$.

Подставим это значение в полученное выражение:

$\frac{K_{max2}}{K_{max1}} = (2)^2 = 4$

Следовательно, максимальная кинетическая энергия увеличится в 4 раза.

Ответ: Максимальная кинетическая энергия точки увеличится в 4 раза.