Номер 4.30, страница 89 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.30, страница 89.

Условие.

4.30. На рисунке 4.6 показан график зависимости проекции равнодействующей сил, приложенных к материальной точке массой 500 г, от времени. Определите амплитудное значение:

а) проекции ускорения;

б) проекции скорости;

в) координаты.

Рис. 4.6

Решение.

Дано:

$m = 500$ г

Из графика:

Амплитуда силы $F_{max} = 0.4$ Н

Период колебаний $T = 4$ с

Перевод в СИ:

$m = 500 \text{ г} = 0.5 \text{ кг}$

Найти:

$a_{max} - ?$

$v_{max} - ?$

$x_{max} - ?$

Решение:

Из графика видно, что проекция равнодействующей силы изменяется по гармоническому закону. Это означает, что материальная точка совершает гармонические колебания. Амплитудное значение силы составляет $F_{max} = 0.4$ Н. Период колебаний — это время одного полного колебания, из графика он равен $T = 4$ с.

Зная период, можем найти циклическую (угловую) частоту колебаний $\omega$:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4 \text{ с}} = \frac{\pi}{2}$ рад/с.

а) проекции ускорения

Согласно второму закону Ньютона, проекция силы связана с проекцией ускорения соотношением $F_x = m \cdot a_x$. Следовательно, амплитудные значения этих величин связаны аналогичным образом:

$F_{max} = m \cdot a_{max}$

Отсюда выражаем амплитудное значение проекции ускорения:

$a_{max} = \frac{F_{max}}{m}$

Подставляем данные из условия:

$a_{max} = \frac{0.4 \text{ Н}}{0.5 \text{ кг}} = 0.8 \text{ м/с}^2$.

Ответ: амплитудное значение проекции ускорения равно $0.8 \text{ м/с}^2$.

б) проекции скорости

При гармонических колебаниях амплитудные значения ускорения $a_{max}$ и скорости $v_{max}$ связаны через циклическую частоту $\omega$ следующим соотношением:

$a_{max} = \omega \cdot v_{max}$

Выразим отсюда амплитудное значение проекции скорости:

$v_{max} = \frac{a_{max}}{\omega}$

Подставим найденные значения $a_{max}$ и $\omega$:

$v_{max} = \frac{0.8 \text{ м/с}^2}{\frac{\pi}{2} \text{ рад/с}} = \frac{1.6}{\pi} \text{ м/с} \approx 0.51 \text{ м/с}$.

Ответ: амплитудное значение проекции скорости равно $\frac{1.6}{\pi} \text{ м/с} \approx 0.51 \text{ м/с}$.

в) координаты

Амплитудное значение координаты $x_{max}$ (амплитуда колебаний) связано с амплитудным значением ускорения $a_{max}$ соотношением:

$a_{max} = \omega^2 \cdot x_{max}$

Выразим отсюда амплитудное значение координаты:

$x_{max} = \frac{a_{max}}{\omega^2}$

Подставим известные значения:

$x_{max} = \frac{0.8 \text{ м/с}^2}{(\frac{\pi}{2} \text{ рад/с})^2} = \frac{0.8 \text{ м/с}^2}{\frac{\pi^2}{4} \text{ рад}^2/\text{с}^2} = \frac{3.2}{\pi^2} \text{ м} \approx 0.32 \text{ м}$.

Ответ: амплитудное значение координаты равно $\frac{3.2}{\pi^2} \text{ м} \approx 0.32 \text{ м}$.