Номер 4.28, страница 88 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.28, страница 88.

Условие.

4.28*. Координата материальной точки изменяется с течением времени по закону $x = 4\cos(\omega t - \pi/4)$ (см). Постройте:

a) графики зависимостей от времени: смещения $\text{x}$, проекций скорости $v_x$ и ускорения $a_x$;

б) векторную диаграмму.

Решение.

Дано:

Уравнение движения материальной точки: $x = 4\cos(\omega t - \pi/4)$ (см).

В системе СИ:

Амплитуда $A = 4$ см $= 0.04$ м.

Уравнение движения: $x = 0.04\cos(\omega t - \pi/4)$ (м).

Для построения графиков и диаграмм удобнее использовать исходные единицы (сантиметры).

Найти:

а) Построить графики зависимостей от времени: смещения $x(t)$, проекции скорости $v_x(t)$ и проекции ускорения $a_x(t)$.

б) Построить векторную диаграмму.

Решение:

а) Графики зависимостей от времени

1. Смещение $x(t)$. Уравнение смещения дано в условии:

$x(t) = 4\cos(\omega t - \pi/4)$ (см)

Это гармоническое колебание с амплитудой $A = 4$ см и начальной фазой $\phi_0 = -\pi/4$. Период колебаний $T = 2\pi/\omega$.

2. Проекция скорости $v_x(t)$. Скорость является первой производной координаты по времени:

$v_x(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (4\cos(\omega t - \pi/4)) = -4\omega \sin(\omega t - \pi/4)$

Для сравнения фаз представим эту зависимость через косинус, используя формулу приведения $-\sin(\alpha) = \cos(\alpha + \pi/2)$:

$v_x(t) = 4\omega \cos(\omega t - \pi/4 + \pi/2) = 4\omega \cos(\omega t + \pi/4)$ (см/с)

Амплитуда скорости $v_{max} = 4\omega$. Колебания скорости опережают по фазе колебания смещения на $\pi/2$.

3. Проекция ускорения $a_x(t)$. Ускорение является первой производной скорости по времени:

$a_x(t) = \frac{dv_x}{dt} = \frac{d}{dt} (-4\omega \sin(\omega t - \pi/4)) = -4\omega^2 \cos(\omega t - \pi/4)$ (см/с²)

Заметим, что $a_x(t) = -\omega^2 x(t)$, что характерно для гармонических колебаний. Представим зависимость через косинус с положительной амплитудой, используя формулу $-\cos(\alpha) = \cos(\alpha + \pi)$:

$a_x(t) = 4\omega^2 \cos(\omega t - \pi/4 + \pi) = 4\omega^2 \cos(\omega t + 3\pi/4)$ (см/с²)

Амплитуда ускорения $a_{max} = 4\omega^2$. Колебания ускорения находятся в противофазе с колебаниями смещения (сдвиг фаз $\pi$) и опережают колебания скорости на $\pi/2$.

Ниже представлены графики зависимостей смещения, скорости и ускорения от времени, выраженного в долях периода $\text{T}$.

Ответ:

Графики зависимостей $x(t)$, $v_x(t)$ и $a_x(t)$:

б) Векторная диаграмма

Гармоническое колебание можно представить в виде вектора (фазора), вращающегося против часовой стрелки с угловой скоростью $\omega$. Длина вектора равна амплитуде колебания, а его проекция на ось Ox дает текущее значение колеблющейся величины.

• Вектор смещения $\vec{A}_x$ имеет длину $A = 4$ и в момент времени $\text{t}$ образует с осью Ox угол $\phi_x(t) = \omega t - \pi/4$.
• Вектор скорости $\vec{A}_v$ имеет длину $A_v = 4\omega$ и образует угол $\phi_v(t) = \omega t + \pi/4$. Он опережает вектор $\vec{A}_x$ на $\pi/2$.
• Вектор ускорения $\vec{A}_a$ имеет длину $A_a = 4\omega^2$ и образует угол $\phi_a(t) = \omega t + 3\pi/4$. Он опережает вектор $\vec{A}_v$ на $\pi/2$.

На диаграмме показано положение векторов в начальный момент времени $t=0$.

Ответ:

Векторная диаграмма для $t=0$: