Номер 4.29, страница 89 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.29, страница 89.

Условие.

4.29. Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой 25 см. Напишите уравнение зависимости координаты точки от времени, если в начальный момент времени точка находилась в крайнем положении, а амплитуда ускорения точки $1 \text{ м/с}^2$.

Решение.

Дано:

Амплитуда колебаний, $A = 25$ см.

Амплитуда ускорения, $a_{max} = 1$ м/с².

В начальный момент времени ($t=0$) точка находится в крайнем положении.

$A = 25 \text{ см} = 0.25 \text{ м}$

Найти:

Уравнение зависимости координаты от времени $x(t)$

Решение:

Общий вид уравнения гармонических колебаний:

$x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$

где $\text{A}$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая частота, $\phi_0$ — начальная фаза колебаний.

Амплитуда $\text{A}$ дана по условию: $A = 0.25$ м.

Из условия известно, что в начальный момент времени ($t=0$) точка находилась в крайнем положении. Это означает, что ее координата $x(0)$ равна амплитуде $\text{A}$ (или $-A$). Выберем для простоты, что $x(0) = A$.

Подставим эти значения в общее уравнение:

$A = A \cos(\omega \cdot 0 + \phi_0)$

$1 = \cos(\phi_0)$

Отсюда следует, что начальная фаза $\phi_0 = 0$.

Таким образом, уравнение колебаний принимает вид:

$x(t) = A \cos(\omega t)$

Для нахождения циклической частоты $\omega$ воспользуемся информацией об амплитуде ускорения. Ускорение $a(t)$ является второй производной от координаты $x(t)$ по времени:

$v(t) = x'(t) = -A\omega \sin(\omega t)$

$a(t) = v'(t) = -A\omega^2 \cos(\omega t)$

Амплитуда ускорения $a_{max}$ — это максимальное значение модуля ускорения. Оно достигается, когда $|\cos(\omega t)| = 1$.

$a_{max} = A\omega^2$

Выразим отсюда циклическую частоту $\omega$:

$\omega = \sqrt{\frac{a_{max}}{A}}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$\omega = \sqrt{\frac{1 \text{ м/с}^2}{0.25 \text{ м}}} = \sqrt{4 \text{ с}^{-2}} = 2 \text{ рад/с}$

Теперь, когда все параметры известны ($A=0.25$ м, $\omega=2$ рад/с, $\phi_0=0$), мы можем записать итоговое уравнение зависимости координаты от времени:

$x(t) = 0.25 \cos(2t)$

Ответ: $x(t) = 0.25 \cos(2t)$ (в СИ).