Номер 4.26, страница 87 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.26, страница 87.

Условие.

4.26*. По графикам зависимости проекции скорости тела от времени (рис. 4.4) напишите уравнение зависимости от времени:

а) проекции скорости $v_x(t)$;

б) координаты $x(t)$;

в) проекции ускорения $a_x(t)$.

Рис. 4.4

Решение.

Для графика а (рис. 4.4 а):

Дано:

Из графика зависимости проекции скорости от времени $v_x(t)$:

Амплитуда скорости $v_m = 1$ м/с.

Период колебаний $T = 0.4$ с.

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

а) Уравнение $v_x(t)$.

б) Уравнение $x(t)$.

в) Уравнение $a_x(t)$.

Решение:

Сначала определим циклическую (угловую) частоту колебаний $\omega$ по известному периоду $\text{T}$:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.4 \text{ с}} = 5\pi$ рад/с.

а) проекции скорости $v_x(t)$

Общий вид уравнения гармонических колебаний для проекции скорости: $v_x(t) = v_m \cos(\omega t + \phi_0)$. В начальный момент времени $t = 0$ из графика следует, что $v_x(0) = -1$ м/с. Подставив известные значения в уравнение, найдем начальную фазу $\phi_0$:

$-1 = 1 \cdot \cos(5\pi \cdot 0 + \phi_0) \implies \cos(\phi_0) = -1$.

Отсюда начальная фаза $\phi_0 = \pi$ рад. Таким образом, искомое уравнение для проекции скорости:

$v_x(t) = 1 \cdot \cos(5\pi t + \pi)$ или, используя формулу приведения, $v_x(t) = -\cos(5\pi t)$.

Ответ: $v_x(t) = -\cos(5\pi t)$.

б) координаты $x(t)$

Проекция скорости является производной от координаты по времени ($v_x = x'$), следовательно, для нахождения зависимости координаты от времени необходимо проинтегрировать уравнение скорости. Будем считать, что центр колебаний находится в начале координат ($x=0$, что означает, что константа интегрирования $C=0$).

$x(t) = \int v_x(t) dt = \int (-\cos(5\pi t)) dt = -\frac{\sin(5\pi t)}{5\pi}$.

Амплитуда колебаний координаты $x_m = \frac{v_m}{\omega} = \frac{1}{5\pi}$ м.

Ответ: $x(t) = -\frac{1}{5\pi}\sin(5\pi t)$.

в) проекции ускорения $a_x(t)$

Проекция ускорения является производной от проекции скорости по времени ($a_x = v_x'$).

$a_x(t) = \frac{d}{dt}(-\cos(5\pi t)) = -(-\sin(5\pi t) \cdot 5\pi) = 5\pi \sin(5\pi t)$.

Амплитуда колебаний ускорения $a_m = v_m \omega = 1 \cdot 5\pi = 5\pi$ м/с².

Ответ: $a_x(t) = 5\pi \sin(5\pi t)$.

Для графика б (рис. 4.4 б):

Дано:

Из графика зависимости проекции скорости от времени $v_x(t)$:

Амплитуда скорости $v_m = 0.75$ м/с.

Период колебаний $T = 2$ с.

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

а) Уравнение $v_x(t)$.

б) Уравнение $x(t)$.

в) Уравнение $a_x(t)$.

Решение:

Сначала определим циклическую (угловую) частоту колебаний $\omega$ по известному периоду $\text{T}$:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2 \text{ с}} = \pi$ рад/с.

а) проекции скорости $v_x(t)$

Поскольку в начальный момент времени $t=0$ скорость $v_x(0) = 0$, удобнее использовать функцию синуса: $v_x(t) = v_m \sin(\omega t + \phi_0)$.

$0 = 0.75 \cdot \sin(\pi \cdot 0 + \phi_0) \implies \sin(\phi_0) = 0$.

Возможные значения для $\phi_0$ - это $\text{0}$ или $\pi$. Чтобы выбрать правильное значение, посмотрим на поведение функции сразу после $t=0$. График идет вниз, значит, производная скорости (ускорение) в начальный момент отрицательна: $a_x(0) < 0$.

$a_x(t) = v_x'(t) = v_m \omega \cos(\omega t + \phi_0)$.

$a_x(0) = v_m \omega \cos(\phi_0) < 0$. Так как $v_m > 0$ и $\omega > 0$, то $\cos(\phi_0) < 0$.

Этому условию удовлетворяет $\phi_0 = \pi$.

Таким образом, искомое уравнение для проекции скорости:

$v_x(t) = 0.75 \sin(\pi t + \pi)$ или, используя формулу приведения, $v_x(t) = -0.75 \sin(\pi t)$.

Ответ: $v_x(t) = -0.75 \sin(\pi t)$.

б) координаты $x(t)$

Проинтегрируем уравнение скорости для нахождения координаты, считая, что центр колебаний находится в $x=0$ ($C=0$).

$x(t) = \int v_x(t) dt = \int (-0.75 \sin(\pi t)) dt = -0.75 \left(-\frac{\cos(\pi t)}{\pi}\right) = \frac{0.75}{\pi} \cos(\pi t)$.

Амплитуда колебаний координаты $x_m = \frac{v_m}{\omega} = \frac{0.75}{\pi}$ м.

Ответ: $x(t) = \frac{0.75}{\pi}\cos(\pi t)$.

в) проекции ускорения $a_x(t)$

Продифференцируем уравнение скорости для нахождения ускорения.

$a_x(t) = \frac{d}{dt}(-0.75 \sin(\pi t)) = -0.75 \cdot \pi \cos(\pi t) = -0.75\pi \cos(\pi t)$.

Амплитуда колебаний ускорения $a_m = v_m \omega = 0.75 \cdot \pi = 0.75\pi$ м/с².

Ответ: $a_x(t) = -0.75\pi \cos(\pi t)$.