Номер 4.22, страница 87 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.22, страница 87.

Условие.

4.22. Проекция импульса тела изменяется по закону $p_x = 2.8\cos 5t$ $(\text{г} \cdot \text{см}/\text{с})$.

a) Определите наибольшее значение проекции импульса.

б) Запишите уравнение зависимости от времени проекции равнодействующей сил, приложенных к телу.

Решение.

Дано:

Уравнение проекции импульса: $p_x(t) = 2,8 \cos(5t)$ (г·см/с).

Перевод в систему СИ:

Амплитудное значение импульса: $p_{0} = 2,8 \text{ г} \cdot \text{см/с} = 2,8 \cdot 10^{-3} \text{ кг} \cdot 10^{-2} \text{ м/с} = 2,8 \cdot 10^{-5}$ кг·м/с.

Тогда уравнение в СИ: $p_x(t) = 2,8 \cdot 10^{-5} \cos(5t)$ (кг·м/с).

Найти:

а) $p_{x_{\text{max}}}$ - наибольшее значение проекции импульса.

б) $F_x(t)$ - уравнение зависимости проекции равнодействующей сил от времени.

Решение:

а) Проекция импульса тела изменяется по гармоническому закону $p_x(t) = p_0 \cos(\omega t)$, где $p_0 = 2,8$ г·см/с - амплитудное значение проекции импульса, а $\omega = 5$ рад/с - циклическая частота.

Наибольшее значение проекции импульса достигается, когда функция косинус принимает свое максимальное значение, равное 1.

$\cos(5t)_{\text{max}} = 1$

Следовательно, наибольшее значение проекции импульса равно его амплитуде:

$p_{x_{\text{max}}} = p_0 = 2,8$ г·см/с.

В системе СИ это значение составит:

$p_{x_{\text{max}}} = 2,8 \cdot 10^{-5}$ кг·м/с.

Ответ: наибольшее значение проекции импульса равно $2,8$ г·см/с или $2,8 \cdot 10^{-5}$ кг·м/с.

б) Согласно второму закону Ньютона, выраженному через импульс, проекция равнодействующей всех сил, приложенных к телу, равна скорости изменения проекции импульса этого тела, то есть ее производной по времени:

$F_x = \frac{dp_x}{dt}$

Возьмем производную по времени от заданного уравнения для проекции импульса:

$F_x(t) = \frac{d}{dt}(2,8 \cos(5t)) = 2,8 \cdot (-\sin(5t)) \cdot (5t)' = 2,8 \cdot (-\sin(5t)) \cdot 5 = -14 \sin(5t)$.

Единица измерения силы в системе СГС (сантиметр-грамм-секунда) - дина. 1 дина = 1 г·см/с². Таким образом, уравнение для проекции силы имеет вид:

$F_x(t) = -14 \sin(5t)$ (дин).

Для записи уравнения в системе СИ переведем амплитудное значение силы в ньютоны, зная, что 1 дин = $10^{-5}$ Н:

$F_{0} = 14 \text{ дин} = 14 \cdot 10^{-5} \text{ Н} = 1,4 \cdot 10^{-4}$ Н.

Тогда уравнение в СИ будет выглядеть так:

$F_x(t) = -1,4 \cdot 10^{-4} \sin(5t)$ (Н).

Ответ: уравнение зависимости от времени проекции равнодействующей сил: $F_x(t) = -14 \sin(5t)$ (дин) или $F_x(t) = -1,4 \cdot 10^{-4} \sin(5t)$ (Н).