Номер 4.17, страница 86 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.17, страница 86.

Условие.

4.17. Координата груза изменяется с течением времени по закону $x = 2\sin \pi t$ (см). Определите:

а) амплитуду и период колебаний;

б) промежуток времени между двумя последовательными прохождениями положения равновесия.

Решение.

Дано:

Уравнение движения груза: $x = 2\sin(\pi t)$ (см)

Перевод в СИ:

Уравнение движения в СИ имеет вид: $x = 0.02\sin(\pi t)$ (м).

Амплитуда $A = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$.

Найти:

a) $\text{A}$ - ?, $\text{T}$ - ?

б) $\Delta t$ - ?

Решение:

Общее уравнение гармонических колебаний имеет вид: $x(t) = A\sin(\omega t + \phi_0)$, где $\text{A}$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая (угловая) частота, $\text{t}$ — время, $\phi_0$ — начальная фаза.

Сравним данное уравнение $x = 2\sin(\pi t)$ с общим уравнением.

а) Из сравнения уравнений находим амплитуду и циклическую частоту.

Амплитуда $\text{A}$ — это максимальное отклонение от положения равновесия. Она равна коэффициенту перед функцией синуса.

$A = 2$ см или $0.02$ м.

Циклическая частота $\omega$ — это коэффициент при времени $\text{t}$ в аргументе синуса.

$\omega = \pi$ рад/с.

Период колебаний $\text{T}$ связан с циклической частотой соотношением: $T = \frac{2\pi}{\omega}$.

Подставим значение $\omega$:

$T = \frac{2\pi}{\pi} = 2$ с.

Ответ: амплитуда $A = 2$ см; период $T = 2$ с.

б) Положение равновесия соответствует координате $x = 0$. Найдем моменты времени, когда груз проходит это положение.

$2\sin(\pi t) = 0$

$\sin(\pi t) = 0$

Это уравнение выполняется, когда аргумент синуса равен $n\pi$, где $\text{n}$ — целое число ($n = 0, 1, 2, ...$).

$\pi t = n\pi$

$t = n$

Таким образом, груз проходит положение равновесия в моменты времени $t_0 = 0$ с, $t_1 = 1$ с, $t_2 = 2$ с и так далее.

Промежуток времени $\Delta t$ между двумя последовательными прохождениями положения равновесия равен разности времен, например, $t_1$ и $t_0$:

$\Delta t = t_1 - t_0 = 1 - 0 = 1$ с.

Также можно отметить, что за один полный период $\text{T}$ тело дважды проходит положение равновесия. Следовательно, интервал времени между последовательными прохождениями равен половине периода.

$\Delta t = \frac{T}{2} = \frac{2}{2} = 1$ с.

Ответ: промежуток времени равен 1 с.