Номер 4.13, страница 86 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.13, страница 86.

Условие.

4.13. Координата колеблющегося тела изменяется по закону $x = 0.4 \cos (5\pi t)$ (м). Определите:

а) период колебаний;

б) максимальную скорость;

в) максимальное ускорение;

г) смещение при $t_1 = 0.1$ с.

Решение.

Дано:

Уравнение колебаний: $x = 0,4\cos(5\pi t)$ (м)

Момент времени: $t_1 = 0,1$ с

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

а) $\text{T}$ - ?

б) $v_{max}$ - ?

в) $a_{max}$ - ?

г) $x(t_1)$ - ?

Решение:

Общее уравнение гармонических колебаний имеет вид $x(t) = A\cos(\omega t + \phi_0)$, где $\text{A}$ - амплитуда, $\omega$ - циклическая (круговая) частота, а $(\omega t + \phi_0)$ - фаза колебаний.

Сравнивая данное нам уравнение $x = 0,4\cos(5\pi t)$ с общим видом, мы можем определить параметры колебаний:

Амплитуда колебаний: $A = 0,4$ м.

Циклическая частота: $\omega = 5\pi$ рад/с.

Начальная фаза: $\phi_0 = 0$.

а) период колебаний

Период колебаний $\text{T}$ связан с циклической частотой $\omega$ по формуле $T = \frac{2\pi}{\omega}$.

Подставим значение циклической частоты $\omega = 5\pi$ рад/с:

$T = \frac{2\pi}{5\pi} = \frac{2}{5} = 0,4$ с.

Ответ: $T = 0,4$ с.

б) максимальную скорость

Скорость тела $\text{v}$ является первой производной координаты $\text{x}$ по времени $\text{t}$: $v(t) = x'(t)$.

$v(t) = (0,4\cos(5\pi t))' = -0,4 \cdot 5\pi \sin(5\pi t) = -2\pi \sin(5\pi t)$ (м/с).

Максимальная скорость $v_{max}$ соответствует амплитудному значению скорости (когда $\sin(5\pi t) = \pm1$). В общем виде $v_{max} = A\omega$.

Подставим значения амплитуды и циклической частоты:

$v_{max} = 0,4 \text{ м} \cdot 5\pi \text{ рад/с} = 2\pi$ м/с.

Вычислим приближенное значение: $v_{max} \approx 2 \cdot 3,14 = 6,28$ м/с.

Ответ: $v_{max} = 2\pi$ м/с $\approx 6,28$ м/с.

в) максимальное ускорение

Ускорение тела $\text{a}$ является первой производной скорости $\text{v}$ по времени $\text{t}$: $a(t) = v'(t)$.

$a(t) = (-2\pi \sin(5\pi t))' = -2\pi \cdot 5\pi \cos(5\pi t) = -10\pi^2 \cos(5\pi t)$ (м/с²).

Максимальное ускорение $a_{max}$ соответствует амплитудному значению ускорения (когда $\cos(5\pi t) = \pm1$). В общем виде $a_{max} = A\omega^2$.

Подставим значения амплитуды и циклической частоты:

$a_{max} = 0,4 \text{ м} \cdot (5\pi \text{ рад/с})^2 = 0,4 \cdot 25\pi^2 = 10\pi^2$ м/с².

Вычислим приближенное значение: $a_{max} \approx 10 \cdot (3,1416)^2 \approx 10 \cdot 9,87 \approx 98,7$ м/с².

Ответ: $a_{max} = 10\pi^2$ м/с² $\approx 98,7$ м/с².

г) смещение при $t_1=0,1$ с

Для нахождения смещения (координаты) тела в момент времени $t_1 = 0,1$ с, подставим это значение в исходное уравнение колебаний:

$x(0,1) = 0,4\cos(5\pi \cdot 0,1) = 0,4\cos(0,5\pi) = 0,4\cos(\frac{\pi}{2})$.

Поскольку значение косинуса угла $\frac{\pi}{2}$ равно нулю ($\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$), то:

$x(0,1) = 0,4 \cdot 0 = 0$ м.

Ответ: $x(0,1) = 0$ м.