Номер 4.8, страница 86 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.8, страница 86.

Условие.

4.8. Материальная точка за 1 мин совершает 60 колебаний с амплитудой 8 см. Напишите уравнение зависимости:

а) координаты от времени;

б) проекции скорости от времени;

в) проекции ускорения от времени.

Решение.

Дано:

Число колебаний, $N = 60$

Время, $t = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$

Амплитуда, $A = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

а) Уравнение зависимости координаты от времени $x(t)$

б) Уравнение зависимости проекции скорости от времени $v_x(t)$

в) Уравнение зависимости проекции ускорения от времени $a_x(t)$

Решение:

Колебания материальной точки являются гармоническими. Общий вид уравнения гармонических колебаний для координаты $\text{x}$ в зависимости от времени $\text{t}$:

$x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$

где $\text{A}$ - амплитуда, $\omega$ - циклическая (круговая) частота, $\phi_0$ - начальная фаза.

1. Найдем частоту ($\nu$) и циклическую частоту ($\omega$) колебаний.

Частота колебаний - это число колебаний в единицу времени:

$\nu = \frac{N}{t} = \frac{60}{60 \text{ с}} = 1 \text{ Гц}$

Циклическая частота связана с обычной частотой соотношением:

$\omega = 2\pi\nu = 2\pi \cdot 1 = 2\pi \text{ рад/с}$

2. Запишем уравнения. Поскольку начальные условия не заданы, примем, что в начальный момент времени ($t=0$) смещение точки от положения равновесия было максимальным ($x(0)=A$). Это соответствует начальной фазе $\phi_0 = 0$. Тогда уравнения будут иметь вид, основанный на функции косинуса.

а) координаты от времени

Подставляем известные значения амплитуды $\text{A}$ и циклической частоты $\omega$ в общее уравнение:

$x(t) = A \cos(\omega t)$

$x(t) = 0.08 \cos(2\pi t)$

Координата измеряется в метрах (м).

Ответ: $x(t) = 0.08 \cos(2\pi t)$ (м).

б) проекции скорости от времени

Проекция скорости $v_x(t)$ является первой производной от координаты по времени:

$v_x(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(A \cos(\omega t)) = -A\omega \sin(\omega t)$

Подставляем значения $A=0.08$ м и $\omega=2\pi$ рад/с:

$v_x(t) = -0.08 \cdot 2\pi \sin(2\pi t) = -0.16\pi \sin(2\pi t)$

Проекция скорости измеряется в метрах в секунду (м/с).

Ответ: $v_x(t) = -0.16\pi \sin(2\pi t)$ (м/с).

в) проекции ускорения от времени

Проекция ускорения $a_x(t)$ является первой производной от проекции скорости по времени (или второй производной от координаты):

$a_x(t) = v_x'(t) = \frac{d}{dt}(-A\omega \sin(\omega t)) = -A\omega^2 \cos(\omega t)$

Подставляем значения $A=0.08$ м и $\omega=2\pi$ рад/с:

$a_x(t) = -0.08 \cdot (2\pi)^2 \cos(2\pi t) = -0.08 \cdot 4\pi^2 \cos(2\pi t) = -0.32\pi^2 \cos(2\pi t)$

Проекция ускорения измеряется в метрах на секунду в квадрате (м/с²).

Ответ: $a_x(t) = -0.32\pi^2 \cos(2\pi t)$ (м/с²).