Номер 4.5, страница 85 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.5, страница 85.

Условие.

4.5. Напишите уравнение зависимости координаты груза от времени, если амплитуда колебаний 0,1 м, а частота 0,2 Гц. В начальный момент времени груз находился:

а) в положении равновесия;

б) в положении наибольшего отклонения.

Решение.

Дано:

Амплитуда колебаний, $A = 0,1$ м

Частота колебаний, $\nu = 0,2$ Гц

Найти:

Уравнение зависимости координаты от времени $x(t)$ для случаев а) и б).

Решение:

Уравнение гармонических колебаний в общем виде записывается как:

$x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$

где $\text{A}$ — амплитуда колебаний, $\omega$ — циклическая (угловая) частота, $\text{t}$ — время, а $\phi_0$ — начальная фаза колебаний.

Циклическая частота $\omega$ связана с линейной частотой $\nu$ соотношением:

$\omega = 2\pi\nu$

Вычислим циклическую частоту для данных условий:

$\omega = 2\pi \cdot 0,2 \text{ Гц} = 0,4\pi \text{ рад/с}$

Таким образом, уравнение колебаний для данной системы принимает вид:

$x(t) = 0,1 \cos(0,4\pi t + \phi_0)$

Начальную фазу $\phi_0$ определим из начальных условий, заданных в пунктах а) и б).

а) в положении равновесия

Если в начальный момент времени ($t = 0$) груз находился в положении равновесия, то его координата $x(0) = 0$. Подставим эти значения в наше уравнение:

$0 = 0,1 \cos(0,4\pi \cdot 0 + \phi_0)$

$0 = \cos(\phi_0)$

Это уравнение выполняется, если $\phi_0 = \pm \frac{\pi}{2}$.

Обычно для описания движения, начинающегося из положения равновесия, используют функцию синуса, что эквивалентно выбору начальной фазы $\phi_0 = -\frac{\pi}{2}$ в уравнении с косинусом, так как $\cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin(\alpha)$.

Тогда уравнение движения будет:

$x(t) = 0,1 \sin(0,4\pi t)$

Ответ: $x(t) = 0,1 \sin(0,4\pi t)$ (в метрах).

б) в положении наибольшего отклонения

Если в начальный момент времени ($t = 0$) груз находился в положении наибольшего отклонения, то его координата равна амплитуде: $x(0) = A = 0,1$ м.

Подставим эти значения в уравнение:

$0,1 = 0,1 \cos(0,4\pi \cdot 0 + \phi_0)$

$1 = \cos(\phi_0)$

Решением данного уравнения является $\phi_0 = 0$ (а также $2\pi k$, где $\text{k}$ - целое число). Выбираем простейшее значение $\phi_0 = 0$.

В этом случае уравнение колебаний принимает вид:

$x(t) = 0,1 \cos(0,4\pi t)$

Ответ: $x(t) = 0,1 \cos(0,4\pi t)$ (в метрах).