Номер 4.4, страница 85 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Гармонические колебания - номер 4.4, страница 85.

Условие.

4.4. Определите амплитуду и период колебаний, если координата колеблющегося тела изменяется по закону:

а) $x = 5\cos \left(\frac{2\pi}{3}\right)t$ (см);

б) $x=0,1\sin \pi t$ (м);

в) $x = \cos 628t$ (м).

Решение.

Дано:

а) $x = 5 \cos(\frac{2\pi}{3}t)$ (см)

б) $x = 0.1 \sin(\pi t)$ (м)

в) $x = \cos(628t)$ (м)

Найти:

Амплитуду $\text{A}$ и период $\text{T}$ для каждого случая.

Решение:

Общее уравнение гармонических колебаний имеет вид $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$ или $x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$. Здесь $\text{A}$ – это амплитуда (максимальное отклонение от положения равновесия), которая является множителем перед тригонометрической функцией. Величина $\omega$ – это циклическая частота, которая является множителем при времени $\text{t}$ под знаком тригонометрической функции.

Период колебаний $\text{T}$ и циклическая частота $\omega$ связаны соотношением: $T = \frac{2\pi}{\omega}$.

Найдем искомые величины для каждого случая.

а) $x = 5\cos( \frac{2\pi}{3}t )$ (см)

Сравнивая данное уравнение с общим видом $x = A\cos(\omega t)$, определяем:

Амплитуда: $A = 5$ см.

Циклическая частота: $\omega = \frac{2\pi}{3}$ рад/с.

Период колебаний равен:

$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{2\pi/3} = 3$ с.

Ответ: $A = 5$ см, $T = 3$ с.

б) $x = 0.1\sin(\pi t)$ (м)

Сравнивая данное уравнение с общим видом $x = A\sin(\omega t)$, определяем:

Амплитуда: $A = 0.1$ м.

Циклическая частота: $\omega = \pi$ рад/с.

Период колебаний равен:

$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\pi} = 2$ с.

Ответ: $A = 0.1$ м, $T = 2$ с.

в) $x = \cos(628t)$ (м)

Представим уравнение в виде $x = 1 \cdot \cos(628t)$ и сравним с общим видом $x = A\cos(\omega t)$. Отсюда определяем:

Амплитуда: $A = 1$ м.

Циклическая частота: $\omega = 628$ рад/с.

Период колебаний равен (примем $\pi \approx 3.14$, тогда $2\pi \approx 6.28$):

$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{628} \approx \frac{6.28}{628} = 0.01$ с.

Ответ: $A = 1$ м, $T = 0.01$ с.